Тақырыбы Функцияның анықталу облысы

Тізбектің, функцияның шектерін есептеу.

Шексіз ондық бөлшектер жиынын қарастырайық. Осы бөлшектермен берілген сандар нақты деп аталады. Рационал емес нақты сандар иррационал деп аталады.

a және b нақты сандарын алайық. Олар келесі шексіз ондық бөлшектер түрінде берілсін: . Бұл сандар тең деп аталады, егер олар бірдей таңба иемденіп және егер a₀ = b₀, a₁ = b₁, ..., a_n = b_n теңдіктері орындалса.

Егер натурал сандар қатарының 1, 2, ..., n, ... әрбір n санына анықталған заңдылық бойынша қандай да бір x_n нақты саны сәйкес қойылса, онда нөмірленген нақты сандар жиыны x₁, x₂, …, x_n, … сандық тізбек деп аталады. Оны қысқаша деп белгілейді.

тізбегі жинақталатын тізбек деп аталады, егер тізбегі шексіз аз болатындай, а саны бар болса. Бұл кезде а саны тізбегінің шегі деп аталады.

Егер тізбегі жинақты және шегі а саны болса, онда ол символдық түрде былай белгіленеді: .

1. 
   Жинақты тізбек тек бір ғана шек иемденеді.
   
2. 
   Жинақты тізбек шектелген болады.
   
3. 
   Жинақты және тізбектерінің қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі (-нің шегі нөлге тең емес болса) жинақты тізбек болады, оның шегі осы тізбектердің шектерінің қосындысына, айырмасына, көбейтіндісіне және бөліндісіне тең болады.
   

Кемімейтін және өспейтін тізбектерді монотонды тізбектер деп атайды. Егер монотонды тізбегінің элементтері барлық n нөмірлері үшін x_nn+1 (x_n>x_n+1) теңсіздігін қанағаттандырса, онда тізбегі өспелі (кемімелі) деп аталады. Өспелі және кемімелі тізбектер қатаң монотонды деп аталады.

Егер жиынының әрбір х айнымалы мәніне белгілі бір заңдылық бойынша қандай да бір у саны сәйкес қойылса, онда жиынында у = y(x) немесе y = f(x) функциясы берілген деп аталады.

Бұл кезде х айнымалысы аргумент деп, ал жиыны - y = f(x) функциясының берілу облысы деп аталады.

Функцияның берілуінің үш тәсілі бар. Олар: аналитикалық, графиктік және кестелік тәсілдер.

Қандай да бір жиынында анықталған y = f(x) функциясын және а нүктесін қарастырайық. а нүктесі жиынына тиісті емес болуы да мүмкін, бірақ а нүктесінің кез келген  аймағында а-ға тең емес жиынының нүктелерін иемдену қасиеті бар.

b саны y = f(x) функциясының x = a нүктесіндегі шектік мәні (немесе ха функция шегі) деп аталады, егер x_n элементтері а-ға тең емес, а-ға жинақталатын кез келген х аргументі мәндерінің x₁, x₂, …, x_n, … тізбегі үшін функция мәндерінің f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), … тізбегі сәйкесінше b-ға жинақталса.

Функцияның шектік мәнін белгілеу үшін келесі символ қолданылады: .

y = f(x) функциясы x = a нүктесінде шексіз кіші деп аталады, егер болса.

f(x) функциясы а нүктесінде оң жақты (сол жақты) шексіз үлкен деп аталады, егер x_n элементі а-дан үлкен (а-дан кіші) болатын, а-ға жинақталатын кез келген х аргументі мәндерінің x₁, x₂, …, x_n, … тізбегі үшін функция мәндерінің f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), … тізбегі сәйкесінше анықталған таңбадағы шексіз үлкен тізбек болса.