Вариациялық есептері деп функцианалдардың экстремумдерін табу есептерін атайды. Ал функционал мәндері бір немесе бірнеше функциялардың мәндерімен анықталады.
Мысал 1. (t,x) жазықтығында (t0 , x0 ), (T, xT ) - екі нүкте берілген. Екуінің арасын ұзындығы минималь болатын сыптықыр (гладкая) кисықсызықпен қосу қажет.
Есепті шешу. Екі нүктенің арасын қосатын кисықсызықтың ұзындығы төменде берілген формуламен табылады:
I[x(t)]=
Демек, есепті шешу [t0,T] аралығында I[x(t)] критерийі минималь мәнін қабылдайтын осы аралықта үздіксіз туындысы бар және x(t0)=x0 , x(T)=xT шегаралық шарттарын қанағатандыратын x*(t) үздіксіз функциясын табуға келтіріледі. Критерий x(t)-дtн тәуелді функционал болвп табылады. Есептің шешімі x*(t) екі нүктенің арасын қосатын түзу болатыны түсінікті.
Егер кейбір M классының әр x(t) функциясына анықталған нақты I саны сәйкес болса, онда x(t)-тен тәуелді I[x(t)] айнымалысы функционал аталады. Яғни әр функцияға кейбір сан сәйкес болса.
Мысал 2 M классын құрайтын x1(t)=t, x2(t)=t2, x3(t)=-(t-1)2+1 сызықтардағы функционалдың мәнін тап
Есепті шешу. Барлық сызықтар нүктелер (0;0), (1;1) арасын қосады, демек, x(0)=0 x(1)=1шегаралық шартын қанағатандырады. M классының әр сызығына сәйкес функционалдар мәндерін табайық:
I[x1(t)]=; I[x2(t)= ; I[x3(t)]=
Бұл функционалдың қарапайым геометриялық мағынасы бар x(t)сызығының астындағы қисықсызықты трапецияның ауданы болады. M классының әр қисықсызығына аудан мәні болатын сан сәйкестендірілген. Есептің қойылымында, сәйкес трапецияның ауданы минималь (максималь) болатындай M классының кисықсызығын табу болуы мүмкін.
Достарыңызбен бөлісу: |
