§65.  Кристалдың ақаулары

лану) күйінде болады.  Бөлшектердің қалыпты жағдайы дислокациядан 

бірнеше атом диаметрі қаш ы қты ғы нда жүзеге асады.

65.2 

65.3

Идеал  кристалдарда  пл а стика л ы қ  деф ормация  65.4-суретте 

көрсетілгендей, кристалл торыньщ атомаралық байланыстарыньщ үзілуі 

есебінен жүреді. Осы суретге серпімсіз ығысу деформациясьшьщ бірінен 

кейін  б ір і  ж үретін  үш   сатысы  келтірілген.  Бағдар  сызығымен  эсер 

ететін жанамалық күш тердің әсерінен идеал кристалдың бір-бірім ен 

салыстырғандағы бөлікгері ығысып, пунктир сызығы бойымен ж азы қ- 

ты қ  бойынша  байланыстарды  бір  уақытта  үзеді.  М үндай  негіздегі

6) 

В)

65.4

у

і)

U Е 

ЧJ

 _

а) 

6) 

в ) 

г )

65.5

процестерді жүргізуге қажетгі кү п п і есептегенде, ол төжірибе қорытынды- 

ларынан  алынатын  кү ш тің   м әнінен  анағүрлым  кө п   болатындығын 

көрсетеді.  Бүны ң т ү с ін ігі былай болады.  Ш ы нында, нақты  денелердегі 

пластикалық деформация бір мезіілде емес, 65.5-суретінде көрсетілгендей 

дислокация қозғалысына байланысты, біртіндеп кезекпен үзу арқьшы

357

жүреді.  Бұл суретте,  жанамалық күш тің  әсерінен ш е кті дислокация- 

ны ң төрт сатылы ж үйелі қозғалысы көрсетілген.  Бүл жағдайда атом­

дардьщ атом аралық байланыстары бірінен соң б ір і кезекпен үзіледі. 

Сондықтан да, сырғанау ү ш ін  ш екті дислокация кезінде шамалы ғана 

күш  қажет болады. Дислокацияның өзіне тән қасиеті, ол байланыстар­

ды  “ қайш ы ”  секілді бірден емес,  кезекпен, біртіндеп үзеді.  Қарасты- 

р ь тға н  мысалдан кристалл бөліктерінің салыстырмалы ығысу процесі 

б ітіп   және  ш екті  дислокациясы  жоғалып  (сы ртқы   ш ы ғумен)  барып 

тынады (65.5, г-сурет).

С озы лу  к е з ін д е гі  п л а с ти ка л ы қ  деф орм ацияны ң 

механизмі, ығысу кезіндегі деформацияға үқсас. Цилиндрлік 

монокристалда  өте  үлкен созатын кү ш   эсер  еткенде  65.6- 

суретте көрсетілгендей сырганау ж азы қты ғы  пайда болады. 

Бүл кезде тек жекеленген ж азы қты қты ң атомдары ығысып 

қоймай, үлғайтуы 

100-200

 есе болатын микроскоппен кара- 

ганда, бүтін жазы қты қтар тобы ығысатындығы б^йқалады.

П ластикалық деформация дислокацияның орын ауыс- 

тыруына  кедергі жасайтын,  кристалды қ  тордың  бүзылуы 

және кө п  санды ақаудың пайда болуы арқьшы жүреді.  М а- 

териалды суы қ күйінде өндегенде, оны ң нығая түсуін осы­

мен түсіндіруге болады.

б) 

Бүрандалық дислокация көбіне ерітіндіде, не қортпа- 

да кристалдың өсу процесінде пайда болады.  65.7-суретінде 

бүрандалық  дислокация  көрсетілген.  Ол  кристалдың  бір 

б ө л ігін ің   атомдарының  е кін ш і  бөлігінің  атомдарымен  салыстырғанда 

ығысуыньщ нәтижесінде түзеледі.  Сондыктан дислокация сызығьшың 

айналасында спираль ш иы рш ы қ түріндегі көлбеу ж а зы қты қ пайда бо­

лады (65.7-суретіндегі 

а б b г

 сызығы-бүранда сызығы).

3. 

Ж азық ақаулар. Поликристадцық материалдарда тү й ір ш ікгіл ікіің  

бар болуы ж азы қ ақаудың б іл ін уін ің  нақты  ақиқаттьш ы ғы  деуге бола­

ды.  Поликристалдық дене кө т е ге н  бірім ен-бірі жалғасқан, қалай бол­

са  солай  бағытталған  кристалдардан  (түйірш іктерден)  түрады  (65.8- 

сурет). Түйірш ікгердің арасындағы шекарадағы бөлшектердің қабатта- 

ры ж азы қ ақаулардың байқалу аймағы  болып табылады.  Бүл айм ақ- 

тардың ені бірнеше атом диаметріне тең және кө рш і әр түрлі бағыттал- 

ған  аймақтардың  бір-бірім ен түй ісуін   (жанасуын)  қамтамасыз  етеді. 

Көбінесе,  поликристалдағы түйірш іктер кристалдың дүрыс п іш ін ін е  

сөйкес келмейді, олардың беттерінде кездейсоқ бағытталу орын алады. 

Температура жоғарылап артқан сайын, бөлш ектің қозғалғы ш тығы ар­

тады және кейбір түйірш іктер басқа түшршіктердің есебінен өсе бастай-

65.6

358

ды  (е кін ш і  рекристаллизация).  Бұл  процестің  металдар  технология- 

сында үлкен м әні бар.  Бүл жерде,  ең қы зы ғы , т ү й ір ш іктің  бар болуы 

металдың нығайуына  (бекуіне)  әкеліп  соғады  (яғни дислокацияның 

ықпалының азайуына). Дислокацияның қозғалысьша түйірш ікгер ара- 

сындағы шекара  елеулі кедергі болып саналады.

Дислокацияны қоспалар ендіру жолымен бекітеді. Ж оғары темпе­

ратурада  ендірілген  қоспалар  дислокация  аймағында  шоғырланады. 

Төменгі температурада қоспаньщ  атомдары қозғалғы ш ты ғы н жоғалта- 

ды жэне кристалда дислокацияның еркін қозғалуына жол берілмейді.

Кейбір жағдайларда,  өте аз қоспаны ң өзі (0,01  % жэне одан да аз) 

дислокацияны бекіту ү ш ін  ж е ткіл ікті.

Дислокацияны және оның қозғалысьш электрондық микроскоппен 

бақылауға болады. Әдетгегі кристалдарда,  оны ң бетіндегі дислокация

тығыздығы өте үлкен ж эне ол шамамен  ю

6

  см 

~2

  болады.

§ 66. Кристалдардьщ жылу сиымдылыгы. Эйнштейн теориясы

Қатты  денелердің жьш у сиымдылығы ж өнінд егі мәселелер кр ис- 

талдық тордың динамикасының көптеген н е гізгі мәселелерімен тығыз 

байланыста жатады.

Кристалға классикалық түрғыдан қарағанда, мысалы,  дг  атомдар- 

дан түратын кристалл затына жэне оның зд^  тербелмелі әрбір еркіндік 

дәрежесіне,  орташа 

k T

  энергия сэйкес келетін жүйе болып саналады 

(

1/2

 

k T

  кинетикалы қ энергия түрінде жэне 

1/2

 потенциялы қ энергия 

түрінде). Демек,  атом торындағы  әрбір бел ш ек- атомға,  ионды қ тор- 

дағы ионға немесе металдық торга орташа 

З к Т

энергия сэйкес келеді. 

Ендеше кристалл күйін д е гі бір моль заттьщ энергиясын табуға болады.

65.7

65.8

359

Ол үш ін  кристадцы қ тордың түйінінде орналасқан бөлшектердің са­

ны н бір бөлш ектің орташа энергиясына көбейтеді.  Ол сан қарапайым 

хим иялы қ заттар үш ін  

N A

  Авогадро санына сэйкес келеді.  Мысалы, 

ол  бөлшектердің  саны  күрделі  зат 

N a C l

  үш ін   бір  мольда  2 

N A

 -ға 

тең,  себебі  бір  моль 

N a C l

 -да, 

Na

 

-Д ІҢ  

N А

  атомдарды және 

с і

 

-ДІҢ  

N А

  атомдары болады.

Біз қарапайым хим иялы қ затгы қарастырайық.  Ол атомдық неме­

се металдық кристалдарды түзетін болсын. Ендеше кристалдық күйдегі 

бір моль заттьщ іш к і энергиясы ү ш ін  мына өрнекті жазуға болады

Қыздырған кезде қатгы  денелердің көлемі аз өзгеретіндікген, олар­

дьщ түрақты көлемдегі жылу сиымдылығы, түрақты  қысымдағы жылу 

сиымдьшықтан өзгешелігі шамалы болады.  Ендеше 

С Р

  ~ 

Сѵ

  деп альт, 

бүдан әрі тек қатгы  дененің жылу сиымдьшығы деп айтамыз.  С оны­

мен (

66

.

2

) ѳрнегіне байланысты кристалл күйіңцегі бір моль қарапайым 

хим иялы қ  заттың  жылу  сиымдылығы 

3R

 -ге  тең  екен.  Бүл  тұ ж ы - 

рымдау  тәжірибе  жүзінде  тағайындалған  Дюлонг және  Пта заңыньщ 

мазмүнын қүрайды.  Бүл заң салыстырмалы түрде алғанда, жоғары тем­

пературада ж е ткіл ікті ж ақсы   орындалады.  Ал төм енгі температурада 

кристаддьщ жылу сиымдылыгы кеміп, температура 

О К

  болғанда,  нѳлге 

үмтьшады (

66

.

1

-сурет).

U м  = N

a

  3 k T  = 3R T  . 

Түрақты  кѳлемдегі жылу сиымдьш ықтың өрнегі

(

66

.

1

)

болғандықтан, біз мынадай өрнек аламыз

Су  = 3 R

.

(

66

.

2

)

Гармониялық осцилятордьщ энер­

ги я сы   ү з д ік с із   б ір қа та р   м әндерді 

қабылдайтын болады делінгендіктен, 

тербелмелі қозғалыстың орташа энер­

гиясы  ү ш ін  

k T

  м әні алынады.

Мәселені  түсіну  үшін  гармониялық  ос- 

цилляторға  тоқтайық.

66.1

>-

Т

Гармониялық  осциллятор  деп 

F  

=  

—k x

квази  серпімді  күш інің   әсерінен  бір  өлшемді 

қозғалыс жасайтын  бөлшекті айтады.  Мүндай 

бөлшектің  потенциялық  энергиясы  мынадай 

болады

360

и  = 

к х " /

2

(66.3)

Һ

т ,

Классикалық  гармониялық  осциллятордың  меншікті  ж иілігі 

⑴ 

мүндағы 

т

 

-бөлшектің массасы.  (66.3)  өрнекті 

た

  және 

т

  арқылы өрнектесек,  мы 

наны  алатынымыз

и

т ( 0 2х 2

Бір  өлшемділік жағдай  үш ін 

Alf/

  =  

d 2\j/

 

/  

d x 2

 

•  Сондықтан  осциллятор  үшін 

Шредингер  теңдеуі  мына  түрде  жазылады

d  у/ 

dm

dx2 

Һ2

W -

ハ

2  :

mù)  x 

2

¥

(66.4)

( W

  -ocциллятордың  толық  энергиясы).  Дифференциялдық  тендеулер  теориясында, 

(66.4)  тендеуіндегі 

W

  -н ің   параметрлерінің  мәні

Wn  =  (п 

+  l /  

2)Һсо 

(п  =

 

0

，

1,2

”

..）

 

（

66.5)

болғанда,  онда  шешуі  түпкіл ікті,  бір  мәнді  және  үздіксіз  болады  деп  дәлелденеді.

66.2-суретінде  гармониялық  осциллятордың  энергия  деңгейлерінің  сызбасы 

келтірілген.  Деңгейлердің  көрнектілігі  үш ін  олар  потенциялық  энергиялар  қисы қ- 

ты ғьта жазылған. Алайда, кванттық механикада толық энергияны кинетикалық және 

потенциалық  энергиялардың  қосындысы  түрінде  жазуға  болмайды.

Гармониялық  осциллятордың  энергия  деңгейлері  эквидистанттық,  яғни  бір- 

бірінен  бірдей  қаш ы қты ққа  орналасқан  болып  табылады.  Энергияньщ  ең  аз  деген

шамасы 

W0  =  Hù)

 

/ 2-ге  тең.  Бұл  мон 

нөлдік  энергия 

деп

аталады.  Нөлдік  энергияньщ  бар  екендігі,  тѳменгі  темпе­

ратурада  кристалдардан  жарықтың  шашырауын  зерттейтін 

тәжірибелерден  анықталады.  Температура  төмендеген 

сайын  шашыраған  жарықтың  интенсивтілігі  нөлге  үмтыл- 

май,  ол  белгілі  бір  түпкілікті  монге  үмтьшады.  Ол  мән  аб­

солют  нөлде,  кристалдық тордың атомдарының қозғалысы 

тоқталмайтындығын  көрсетеді.

Кванттық механика әр түрлі кванттық жүйелердің бір 

күйден  екінші  күйге  түрліше  өтуінің  ықтималдығын  есеп­

теуге  мүм кіндік  береді.  Бүған  ұқсас  есептеулер,  гармония- 

лы қ  осциллятордағы  өтулер,  тек  қана  көрші  деңгейлер  үш ін  ғана  дүрыс  екендігін 

көрсетеді.  Осындай  өтулерде 

п

  кванттың саны  бірге  ғана  өзгереді.

66.2

Лат  =  

土

1 •

(

66

.

6

)

Жүйе  бір  күйден  екінш і  күйге  өткенде  кванттық  санның  өзгерісіне  қойылатын 

шартты 

іріктеу ережесі 

деп атайды. Сонымен гармониялық осцилляторға 

(66.6) 

тендеуі 

бойынша  өрнектелген  тендеу  іріктеу ережесі  болып  табылады.

361

(66.6)  ережесінен  біздің  байқайтынымыз,  гармониялық  осциллятордың  энер­

гиясы  тек 

f i Q)

  порциясымен  ғана  өзгере  алатьшдығы.

Гармониялық осцилляторды қарағанда тербеліс энергиясы кван- 

талатындығы тағайындалды. Бүл орташа тербеліс энергиясы  ^

7

"энергия­

дан өзгеше екеңдігіне көз жеткізеді.  (66.5) өрнегіне сэйкес гармония- 

л ы к осциллятордың энергияньщ мынадай мәні болады

£п  = (п + 1 /2)Һ(0 

{п = 0,1,2,...).

Әр түрлі энер гияньщ   к ү й і  бойы нш а,  осцилляторды ң таралуы 

Больцман заңына бағынады деп қабыдцап,  гарм ониялы қ осцилятор- 

дың 

(

е

)

 орташа  энергиясыньщ   м әнін  анықтауға  болады  (қараңыз: 

“ П л анкөрнегі”  тақы ры бы ңдағы 〈£ 〉-н ің  мәніне қосымша 

1 /2

 

(h œ )- 

ны  қосамыз).  Сонда

( e )   = U c o + ~ ~ ^ -

...  . 

(

66

.

7

)

ム

e

 

— 丄

Квантгың тербеліс энергиясын есепке алатын кристалдық денелердің 

жылу сиымдылық теориясын Эйнштейн (1907 ж ) жасады жэне кейіннен 

оны Дебай (1912 ж ) жетілдірді.

Эйнш тейн  ту  атомдардан түратын кристадцы қ торды,  бірдей 

со 

м енш ікті ж и іл ігі бар, 

37

Ѵ  тәуелсіз гармониялық осцилляторлар ж үйесі 

деп қарады.  Тербелістің нөлдік энергиясыньщ  бар екендігі,  ке й ін ір е к 

тек қана квантты қ механика пайда болған кезде.тағайындалды.  С он­

дыктан Эйнш тейн П ланктің гармониялық осциллятор үш ін 

£п  = пһсо 

энергиясыньщ   м әнін  алды.  Демек,  Э йнш тейн  өрнегіндегі 

( е )

  -д е

，

Һ(0

 /2   қосы лғы ш ы   болмады.  (66.7)  өрнегінің  е кін ш і  қосьш ғы ш ы н

3N

  -ге  кө б е й тіп ,  Э й н ш тей н   кристалды ң  іш к і  энергиясы   ү ш ін  

төмеңцегідей өрнекті алды

Г7

 

3Nho)

ひ

  ~~ 

_ і • 

(

66

.

8

)

Эйнштейн (

66

.

8

) тендеуін температура бойынша дифференциалдап

，

 

кристаддьщ жьшу сиымдылығын анықтады

Э

ひ

 

3NHœ 

ш/кт  П о 

~  д Т ~   ( е ш 'кТ 

- 1 )

パ

 

к Т 1

 

(66.9)

Біз енді е кі ш екті жағдайды қарастырайық.

1 . Ж оғары  температураларда 

(к Т  > Һ(о).

  Бүл  жағдайда  (66.9)

362

теңцеуінің  бөліміне 

ehwlkT

  ~ 

1

 + 

Һсо/ к Т ,

  ал  алымына 

еш/кт

  = і- д і 

қою ға болады.  Сонда, жылу сиымдьш ық мына түрде алынады

C = 3 N   к

 

(66.10)

С өйтіп,  біз Д ю лонг және  П ти заңына келдік.

2. 

Төменгі температураларда 

(к Т  < Һсо

) .  Бүл шарт бойынша (66.9) 

тендеуінің бөліміндегі бірді ескермеуге болады.  Сонда, жылу сиымды- 

лы қты ң  ѳрнегі, мына түрге келеді

C = 3 N (h ^ -   в '  ш ,кТ.

 

(

66

.

11

)

k T

Э кспоценциялы қ кө б ей ткіш  

j 2

 -қа  қарағанда тез өзгереді.  С он­

ды ктан абсолют нөлге жақындағанда,  (

66

.

11

) өрнегі практика жүзінде 

экспоненциалық заңмен нөлге үмтылады.

Тәжірибе  көрсетуіне  қарағанда,  кристаддьщ жылу  сиымдылыгы 

абсалют нөлдің маңында,  экспоненциалы қ заңмен емес, 

ү 3

  заңымен 

өзгереді. Демек, Эйнштейн теориясы төменгі температуралар үш ін жылу 

сиымды лықтың сапалық ж ү р іс ін  ғана береді.  К е йіннен тәжірибемен 

сандық сәйкестікті тек Дебай ғана жасай алады.

§67.  Фонондар

Б із  өткен  параграфта  кристаддьщ  энергиясы  қалы пты   тордың 

тербеліс энергияларыньщ қосындысы түрінде көрсетуге болады дегенбіз

U   =

  X  (л г  + 1 /2 ) /г 

соі

/=і

( N

 -кристалдардағы элементар үялардың саны, 

r

 -үялардағы атомдар 

саны).

Н өлдік  тербеліс  энергиясын  шегергенде, 

(Оі

  ж и іл ікті  тербелістің 

қалыпты энергиясы 

еі  =  fiOJi

 

(67.1)

шамасыньщ порцияларыньщ қосыңдысьшан түрады.

Бүл порцияны (кванггы ) фонон деп атайды. Кристалдардағы көпте- 

ген процестер  (мысалы,  рентген сәулелерінің не нейтрондардың ша­

шырауы) фононның импульсі болғандағы секілді өтеді

р  = Һ к

，

 

(67.2)

мұндағы 

k

 -қалы пты  тербеліске ти істі толқы нды қ вектор.

363

Ф онон кѳптеген жагдайда,  ө зін ің  энергиясы (67.1) жэне импульсі

(67.2)  бар  бѳлшек  секілді  сезінеді.  Алайда,  ол  кейбір  бѳлшектерден 

(электрондар,  протондар,  фотондар жэне т.б) ѳзгеше,  вакуумде пайда 

болмайды.  Фононнын, пайда  болуы жэне  ѳмір  сүруі  үш ін   белгілі бір 

орта  қажет.  М үндай  текті  бөлшектерді  квазибөлшектер  деп  атайды. 

Сонымен фонон квазибөлшек болып табылады.

Ф ононнын,  им пулсінің  өзіне  тән  қасиеттері  бар.  Фонондар  бір- 

бірімен эсерлескенде, олардьщ импульстері дискретті порция түрінде 

кристадцы қ торға беріледі де,  нәтижесінде сақталып қалмайды.  Осы- 

ған байланысты (67.2) жағдайын фонондар үш ін  импульс емес, квази- 

импульс деп атайды.

Ж ы лулы қ тепе-теңдік жағдайында 

ж и іл ікті  фонондардың ор­

таша саны ( 

nt

  ) тѳмендегідей шарттан анықталады

( ( n , + 1 / 2 ) ^ , .   >  =

((66.7)  өрнегін  қараңыз).  Осьщан

(67.3)

(67.3) 

өрнегінен  кристалла  бір  мезгілде  шексіз. санды  бірдей  фо­

нондар  қозуы ны ң  м ү м кін д ігі  шығады.  Демек,  Паули  п р и н ц и п і  фо­

нондар үш ін орындалмайды.

Бүл жерде айта кететін жағдай, қуы с ыдыс қабырғамен тепе-тендік 

күйде болатын электромагниттік өрістің кванттары-фотондар да,  (67.3) 

өрнегі бойынша таралуға бағынады.

Сонымен кристалдық тордың тербелістерін кристалл үлгісіне ж и - 

нақталған ф онондық газ, яғни қуы с ыдысқа толтырылған ф отондық 

газдың  электром агниттік  сәуле  шығаруы  секілді  деп  түсін у  керек. 

Формальді түрде алғанда, е кі т ү с ін ік  те өте үқсас.  Ф отон да,  фонон да 

бір  статистикаға  бағынады.  Алайда,  фотон  мен  ф ононның  арасында 

елеулі айырмаш ылық бар:  фотон нақты  бѳлшек болса,  фонон квази- 

бѳлшек.

Кристалдарда ѳтетін жары қты ң комбинациялы қ шашырауын, фо­

тондар мен фонондардың өзара әсерлесуі деп айтуға болады.  Кристал- 

д ы қ тор арқылы үш ы п өткен фотон, кристаддьщ оптикалы қ бір тарма- 

ғыңіщ ғы фононды қоздырады.  Бұған фотон өзінің  энергиясын жүмса- 

ғандықтан оның ж и іл ігі азаяды, соның нәтижесінде, қызыл серік пайда 

болады. Егер іфисталда фонон бүрыннан қоздырылған болса, оңда кр ис-

364

талға түскен фотон оны ж үты п,  соны ң нәтижесінде оны ң энергиясы 

артады.  Бүл кезде күлгін серік пайда болады.

(67.3) таралуы Бозе-Эйнштейн таралуларыньщ дербес жағдайы бо­

лы п  табылады.  Бүл  таралуларға  б үтін   санды  (жеке  жағдайда  нөлдік) 

спиндері  бар  бөлшектер  бағынады.  Осы таралулардың жалпы  өрнегі 

мынадай болады

〈

” i 〉-  

^(Wr n)/kT

 

_ 1

. 

(67.4)

м ү н д а ғы

〈

 

п{

  ) -нө м ірі 

і

  болатын күйдегі бөлш ектің орташа саны, 

- 

осы күйд егі болш ектің энергиясы, 

/и

  -хим иялы қ потенциял,  ал бар- 

л ы қ  ( 

пі

  )  -дің қосындысы, жүйедегі  бөлшектердің толы қ санына тең 

деген шарттан анықталады

Е (  

п і  ) = N .

(67.4)  ѳрнегіндегі 

ju

  -д ің   м әні  оң  болуы  м үм кін   емес,  керісінш е 

W j

〈

 

ju

  болған  жағдайда 

〈

 

) -д ің   орта  шамасы  теріс  болар  еді  де, 

оны ң ф изикалық мағынасы болмайды.  Сонымен "  < 0 .Бөлш екгерінің 

саны айнымалы  жүйе үш ін   (бүған фотондар жэне фонондар жүйелері 

жатады) 

/л

 = 0 жэне (67.4) ѳрнегі (67.3) ѳрнегіне кѳшеді.  (67.4) орнала­

суы Бозе-Эйнштейн статистикасьша негізделген. Осы статистикаға бағы- 

наты н бөлшектерді бозондар деп атайды. Демек, фотондар да, ф онон­

дар да бозондар болып табылады.  Бозондарға спинд ік саны нѳл немесе 

бүтін болатын барлық бѳлшекгер жатады.

Сонымен 

п

  бѳлшектері  бар  күйде,  бозонның  пайда  болу  ы қти - 

малдылығы 

Р,

 сол бөлшектердің саны 

п

 -ге пропорционал

Р  ~ п.

 

(67.5)

Демек, бозондар бір күйге жинақталғанды “ қалайды” ，сондықтан 

оларды “ қауымш ыл”  деуге болады.

X II  Тарау

К Р И С Т А Л Д Ы Қ  ТО РДЫ Ң  Э Л Е М Е Н ТТЕ Р І Ж Э Н Е  О Н Ы Ң

ТЕО РИЯСЫ

§68. Электрондардьщ жылу сиымдылыгы

Жалпы физика курсыньщ электродинамика бөлімінде металдардағы 

бос электрондардьщ элементар классикалык теориясы оқуш ы ға мәлім 

болатын.  Енді біз квантты қ теория негізімен танысайық.

Е ркін  электрондардьщ п іш ім і бойынша, металдың валенггік элек­

трондары қарастырылатын үл гін ің  шегінде е м ін-еркін қозғала алады. 

С оған  байланы сты   ва л е н ттік  электрондарды   металдың  электр 

ө ткіз гіш т ігін ің   себебі  ретінде  қарайды  және  сонды қтан  да  оларды 

өтизгіш тіктің электрондары деп атайдьі.Түсінікті болу үттіін металл үлгіні 

қабырғалары 

乙

  болатын  шаршы  (куб )  деп  есептейік.  А йталы қ, 

ѳ ткізгіш тік электрондары үл гін ің  шегінде ем ін-еркін  қозғалып жүрсін.

(49.7) 

өрнегіне 

U   = 0

  м ә н ін   қо й ы п ,  е р кін   электрондар  ү ш ін  

Ш редингер теңцеуін жазамыз

-

n 2A \j//2 m  = Wy/  ,

 

(68.1)

мүндағы 

т

  электронньщ массасы.

(

68

.

1

) 

тендеуінің шешуі төмендегідей болатыньша оңай көз жеткізуге 

болады

у/  = С е

і

к

г

，

 

(

68

.

2

)

мүндағы 

к   = p /fi -

 электронньщ  толқы нды қ векторы，

ол энергиямен 

мынадай байланыста болады

р 2 

Ь 1к 1

会

п

  • 

(68.3)

П си-ф ункцияньщ  мѳлшерлену шартын төмендегідей түрде жазуға бо­

лады (интегралдау 

j ]

  _  ке тең болатын үл гін ің  у   көлемі бойынша алы­

нады)

jy/*\l/dV  = С* С jd V   = С* CÜ

  = 1 .

366

С — н і  затты қ деп  есептесек,  онда  онын,  м эні  1 /L

3/2

  болады.  Демек, 

осы м энді (

68

.

2

) ѳрнегіне қояты н болсақ,  онда мынаны аламыз

(68.4)

Пси-функция шекаралық шартгы  қанағаттандыратьш 

x, у, z

  бойы н­

ша периоды 

L - T Q

 тең, периодты ф ункция болуы керек.  (68.4) ф унк­

циясы осы шартты толқындық векгорлардьщ мынадай мәндерінде, қана- 

ғаттандыратынына оңай көз  жеткізуге болады

мүндағы 

пх,п ^ ,п ъ  -

бір-бірінентәуелсіз 

0

,  ±

1 , ± 2

  жәнет.б. мәндерді 

қабылдайтын бүтін сандар.  Ш ы ны нда,  (68.5) өрнегін (68.4)  тендеуіне 

қойғанда, мынаны аламыз

М үндағы 

jc 

-  т і 

( jc  

+  L ) мен,  у — т і 

( у  

+  

L )

 мен жэне т.с.с алмастырсақ, 

оньщ  нэтиж есі ф ункцияны еш ѳзгерссіз қалдырады (тек қана 

1

-ге тең 

кѳбейткіш  пайда болады).

Сонымен толқы нд ы қ вектордын, м эн і квантталады.  Ендеше оған 

сәйкесті металдағы ѳ т кіз гіш т ік электроныньщ  энергиясы да квантта­

лады.  (68.5)-тің м әнін (68.3) теңдеуіне қо йса қ, онда энергия үш ін  мына 

ѳрнекті жазамыз

Ѳ т кіз гіш т ік электроныньщ  к ү й і  ^   то лқы н д ы қ вектормен  ( яғни 

к х,  к у,  k z

  мәндерімен) және 

ms

  =  

土

І /  

2

  ква нтты қ спинмен аны қта- 

лады.  Демек,  күй д і 

т 5

  төрт  квантты қ  сандармен  беруге

болады.  Электронный, энергиясы  л,  ква нтты қ сандарыньщ квадрат- 

тардың қосындысымен анықталады.  Қайсы  бір квадраттардың қосы н- 

дысына 

( п {  = п 2  = п2  = 0

  жағдайынан басқа) 

пі

  саныныңбірнеш е әр 

түрлі комбинациялары сэйкес келеді.

W0 (щ  = п2  = ги  =

 0)  деңгейі  екіге  тең  (m s.  = ± 1 /2 )  азғындауға 

еселі болады.  Келесі 

Wl

  деңгейі  12 әр түрлі квантты қ сандар комбина-

циясында  (68.1-кесте), 

W-,

  деңгейі-24  комбинацияға  тең  жағдайда

к х

  -  

2m ix/ L ,  

к у

  =  

2

tui

2/ L ,  

к г  — 2 ш 3 j L ,

 

(68.5)

367

жэне  т.с.с.  жүзеге  асады.  Сонымен  энергия  ѳскен  сайын  берілген 

W

 — н ің  м әніне жауапты эр түрлі күй д ің  саны ѳседі.

68.1-кесте

Ойдан  ш ы ғары лған  к е ң іс т ік   е н гізіп , 

оны ң өстерінің бойына 

п

х, 

п1  пъ

  квантты к 

сандарын  саламыз.  Бүл  ке ң істікте гі  әрбір 

(m s

  мәндерінде  айырмашылығы  бар)  қос 

күйге нүкте сэйкес келеді. Энергияларыньщ 

мәндері бірдей беттің радиусы

* 

[   2

  , 

2

  , 

2 

П

 

丨

 

+ « 2

  +  

Пъ

сф ера 

т ү р ін д е  

б олады . Э н е р ги я с ы

W  = (n2/ 2 m ) { l n / L ) 2n 2 

- тан  ((

68

.

6

)  өрнегін  қара)  аспайтын 

v w

к ү й ін ің   саны,  радиусы 

п *

  сфераның  іш інде  болатын,  е кі  еселенген 

нүктелердің  санына тең.  Н үктелердің орналасу тығыздығы  бірге тең

болғандықтан, 

Vw

 шамасы сфераның екі еселенген көлемімен анықта- 

лады

т 

4

 

*3

 

S  (  2 

2

 

2

 

V /2

Vvv 

= 2 - - п п  

= - 7 ：

{ ^   + п 2  + щ   )

 

. 

(

68

.

7

)

(

68

.

6

) 

және  (68.7)-ден 

пі

 сандарының квадраттарының қосы нды - 

сын шығарьш тастасақ, мынаны аламыз

v  

_ 8 f 2 m ) 3/2(   L ) 3w3/2 

S

v (2m)3,2w3/2 

V w = ~ 3 \ - ^ j

 

’

（

68.8)

мүндағы 

y  -

 металл үлгінің  көлемі.  Біздің шығарьш алған бүл өрнегіміз 

энергиясы 

W

 - н ің  м әнінен аспайтын күй д ің  санын анықтайды.

(

68

.

8

) өрнегінен мынаны аламыз

dvw  = 4 7 lV ^ ^ -— Wl/2dW 

(2л:  Пу

 

•

М үндағы  

d v w

  шамасы 

w

 — ден 

W

  +  

d W —

 ге д е й ін гі интервалға ж и - 

нақталған энергия к ү й ін ің  саны.  Сондықтан, 

g

  (W ) 

= d v  / d W

 күйд ің

368

тығыздығы, я ш и  энергияньщ бірлік интервалына келетін күйд ің  саны. 

Ол мынадай болады

l m f n

g ( W ) = A n V ^

f

WX' 2-

 

(68.9)

Металдың көлем бірлігіндегі еркін электрондардьщ саны 

п

  бол­

сын дейік.  Сонда металл үлгіде 

пѴ

  е ркін  электрондар болады. Абсо­

лю т нѳл температурада Паули принципінің салдарынан бул электрондар 

эр күй д ің  ең төменгі энергиялық деңгейлеріне бір-бірлеп орналасады. 

С онды қтан да белгілі бір 

WF

 (0 )  м әнінен к іш і болатын 

\ү

  энергиясы 

бар барлық күйлер электрондармен толады, ал 

) 

WF

 (0)  бос (вакант- 

ты қ) болады. 

WF

 (0) энергиясы абсолют нѳлдегі Ферми деңгейі деп ата­

лады. ^ ( 0 )   шамасы 

Т  = 0  К

  болгандагы 

WF

  параметрінің  м әнін 

кѳрсетеді. 

WF

  — тің  ти істі  энергиялы қ  мәніне  т е ң ,

た

—ке ң істігін д егі 

(немесе 

р

 — ке ң істікте гі  сол  жағдай; 

р  = Һ  к )

  изоэнергиялы қ  бетін, 

немесе түрақты  энергия бетін Ферми беті деп атайды.  Е ркін  электрон- 

дар жағдайында бүл бет мынадай тендеумен сипатталады

р 2 

П2к 2 

…

2m 

2m

((68.3) өрнегін қараңыз). Демек,  бұл бет сфера түрінде болады. Абсо­

лю т нѳл температурада,  Ферми беті электрондармен толы қ толмаған 

күй д і, электронмен толы қ толған күйден бөліп түрады.

(

68

.

8

) 

өрнегіне 

Vw  = n V  -

 н і қо йы п, 

WF

 (0 ) - д ің  м әнін анықтауға 

болады

…

- ノ け

(

加

)

3

Осьщан

3 / 2

叫

バ

^

肩

]

3/ 2

^ Ѵ (О )= —

—

{Ъп2п

) 1,ъ. 

(68.10)

Енді 

WF

 ГО) -  дің м әнін бағалайық.  Металдағы ө т кізгіш ііктің  элек­

тронды к концентрациясы 

\{ ў 2

  — нен і

〇

23

 см 

_3

  дейінгі аралықта жата­

ды.  М ұн д а ғы  

п

  ү ш ін  

5

 • 

\0 22см~3

  - т ің   орта  м ә н ін   аламыз,  сонда

= О 0 5 4 0 _ _ L ( 3 . 3142  . 5 - i o 22) 2/3  = В , Л 0 А2э р г  = 5 э В  

ハ

 

2 .0

，

91-10 

一

27

 

•

24-27

369

Абсолют  нѳл  кезіндегі  электрондардьщ  орташа  энергиясын  та- 

байық. 

W

 -Ден 

{у/

 + 

д ей ін гі  энергиялы қ  кү й д і  толтыратын

электрондардьщ энергиясыньщ қосындысы мынадай өрнекпен аны қ- 

талады

W dvw  = W   g ( W ) d W .

Электрондардьщ ө ткізгіш тігін ің  барлық энергиясыньщ қосындысы 

мынаған тең

WF(0)

fw d v w  = 

dW,

О

Бүл  энергияны  электрондардьщ  толы қ  саны  J 

ぎ

(^О  

dW

 — ге  бел in , 

бір электронный, орташа энергиясын аламыз

ИѴ(

0

)

jw ^ ( W ) d W

< W   >  = —

--------------------

УУ

 

(0)

J 

dW

Енді осы теңдеудегі 

g  (W )

  үш ін  (68.9) өрнегін қо й с а қ，

онда

Wy  (

0)

\ w ll2 d w

< W >   =

 

----------- =  

ニ

 

灰

ғ (0)

%(  ) 

5 

ғ 

• 

(

68

.

11

)

\ W l,2d W

WF (0)

 үш ін  o o  5 эВ м әнін аддық. Демек,  абсолют нөл температурада 

электрондардьщ ө ткізгіш тігін ің  орташа энергиясы шамамен 3 эВ бола­

ды.  Бүл өте үлкен шама.  Классикалы қ электрон газына мүндай энер­

гия  беру  үш ін ,  оны  25  мьщ  кельвин  температураға  дейін  қы зды ру 

қажет.  М ін е ,  сонды қтан  да  электронды қ  газдың  металдың  жылу 

сиымдьшығына  қосаты н  үлесінің  аздығы  осымен  түсіндіріледі.  Реті 

бойынша 

к  Т

 шамасына тең орташа жылулы қ энергия, бѳлме темпера-

370

^ ғ (0)

68.1

іурасы жағдайында  1 /4 0  

эВ

 бола- 

{ 

ды.  М ұндай  энергия  тек  Ферми 

деңгейіне  қабысатын,  ең  жоғары 

деңгейде  түрған  электрондарды 

гана қоздыра алады. Өте терең дең- 

гейлерге орналасқан электрондар­

дьщ   к ө п ш іл іг і  ө з д е р ін ің   сол 

күйлерінде қалады да,  қыздырған 

кезде олар энергия жүтпайды. Со­

нымен металды қыздыру процесіне 

о ткізгіш тік электрондарыньщ тек 

сізғантай бөлігі ғана қатысады, міне

сондықтан да, металдағы электрон газының жылу сиымдьшығының аз 

болатындыгы осымен түсіндіріледі.

68.1 

суретінде  (68.9) ф ункциясыньщ   графигі көрсетілген.  Ш трих- 

талған аудан абсолют нөл температурасындагы электрондармен толған 

күйд ің санын береді.  Металды қыздырғанда Ферми денгейіне  қабы с- 

қан электрондардьщ деңгейінен, одан жоғары, 

WF

 (0 ) деңгейіне көш уі 

орьш алады. Соның нәтижесінде 68.1-суретіндегі штрихталған деңгейдің 

айқы н кө р ін іп  түрған шеті жуылған болып шығады.  Электрондардьщ 

толтырылуыньщ деңгейлік қисы ғы  бұл аймақта пунктир сызығы түрінде 

болады.  Бүл қи с ы қт ы қ көм керіп түрған аудан, сол абсолют  темпера­

тура кезіндегі ауданға тең болып қалады (аудан 

п Ѵ  -  та

 тең).  Ж уылу 

аймағының енінің реті 

к Т

 болады. Демек, металды қыздыру процесінде, 

шамамен 

Т І Т Ғ  —

 ке тең болатын  электрондарыньщ үлесі қатысады, 

яғни

WF {(d )!k ,

(

68

.

12

)

мүндағы 

Тғ

  — шамасы Ферми температурасы деп аталады. Нәтижесінде, 

электрондардьщ жылу сиымдылыгы былай анықталады

~  

丁

Бѳлме  жағдайындағы  температурада 

С

зп，ө зін ің   классикалы қ 

мәнінен шамамен  100 есе аз болады 

(Т ~

 300 

К ,   Тғ  ~

 25000 

К

) .

371

жүктеу/скачать 13,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: