Ч а с т ь V i молодой ученый
жүктеу/скачать 6,09 Mb. Pdf көрінісі
|
| Лемма-1.
A операторы 1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген 0 x шешімі 0 C кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады: 0 0 ( 1) n n x A S n f ∞ = = − − ∑ , 0 f C ∈ Дәлелдеуі: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 S x t S Ax t S f t − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x t AS x t S f t = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 I AS x t S f t − − = − ( ) ( ) 1 I A x S f − = − мұндағы ( ) , 1 b u A AS EndC = − ∈ . ( ) 1 S − — қайтымды изометрия, демек ( ) ( ) 1 r A r A = < . Сондықтан , b u I A EndC − ∈ операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады: ( ) ( ) 1 0 0 n n n n I A y A y A S n y ∞ ∞ − = = − = = − ∑ ∑ , , b u y C ∈ Демек, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 n n n n x I A I A x I A S f A S n S f A S n f ∞ ∞ − − = = = − − = − − = − − = − − ∑ ∑ мұндағы 0 f C ∈ және 0 0 x C ∈ . X — ақырлы өлшемді нормаланған сызықтық кеңістік болсын. EndX – X -та анықталған сызықтық операторлардың банах алгебрасы. ( ) , , , b u b u C C R X = — мәндері X -те болатын, R - де анықталған бірқалыпты үзіліссіз әрі шенелген функциялардың банах кеңістігі. ( ) 0 0 , C C R X = — ( ) lim 0 t x t →∞ = (шексіздікте жойылады) шартын қанағаттандыратын , b u x C ∈ функцияларының тұйық ішкі кеңістігі. Анықтама-1. , b u x C ∈ функциясын ( 0 C ішкі кеңістігіне қатысты) периоды 0 ω > болатын, шексіздікте периодты функция деп атаймыз, егер ( ) 0 S x x C ω − ∈ болса. Мұндай функциялардың жиынын ( ) , , , C C R X ω ∞ ω ∞ = деп белгілейміз. , b u C банах кеңістігінде келесі түрдегі изометриялық операторлардың үзіліссіз тобын қарастырамыз: , : , b u S R EndC → ( ) ( ) ( ) ( ) , S t x s x s t = + , , , b u s t R x C ∈ ∈ . Келесі түрдегі айырымдық операторды қарастырайық: ( ) ( ) ( ) 1 x t Bx t f t + = + , ( ) t R ∈ (1) мұндағы B EndX ∈ және 0 f C ∈ . Теорема-1. B EndX ∈ сызықтық операторының спектрі келесі шартты қанағаттандыратын болсын: 1 саны B операторының спектрінің { } : 1 T C = λ∈ λ = бірлік шеңберіндегі жалғыз нүктесі болады. Онда, егер (1) теңдеуінің шенелген, бірқалыпты үзіліссіз x 0 шешімі бар болса, онда ол периоды 1 болатын шексіздікте периодты функция болады. Яғни 0 1, x C ∞ ∈ . Теореманы дәлелдеу үшін келесі екі лемманы дәлелдейік. Келесі теңдеуді қарастырайық: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + t R ∈ , 0 f C ∈ (2) Мұндағы A EndX ∈ операторы келесі шарттардың бірін қанағаттандырсын: ( ) 1 r A < ( ) 1 1 r A − < мұндағы екінші шартта A операторы қайтымды және ( ) r A мен ( ) 1 r A − сәйкес A және 1 A − операторларының спектральдық радиустарын білдіреді. Лемма-1. A операторы 1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген 0 x шешімі 0 C кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады: 0 0 ( 1) n n x A S n f ∞ = = − − ∑ , 0 f C ∈ Дәлелдеуі: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 S x t S Ax t S f t − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x t AS x t S f t = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 I AS x t S f t − − = − ( ) ( ) 1 I A x S f − = − мұндағы ( ) , 1 b u A AS EndC = − ∈ . ( ) 1 S − — қайтымды изометрия, демек ( ) ( ) 1 r A r A = < . Сондықтан , b u I A EndC − ∈ операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады: ( ) ( ) 1 0 0 n n n n I A y A y A S n y ∞ ∞ − = = − = = − ∑ ∑ , , b u y C ∈ Демек, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 n n n n x I A I A x I A S f A S n S f A S n f ∞ ∞ − − = = = − − = − − = − − = − − ∑ ∑ мұндағы 0 f C ∈ және 0 0 x C ∈ . X — ақырлы өлшемді нормаланған сызықтық кеңістік болсын. EndX – X -та анықталған сызықтық операторлардың банах алгебрасы. ( ) , , , b u b u C C R X = — мәндері X -те болатын, R - де анықталған бірқалыпты үзіліссіз әрі шенелген функциялардың банах кеңістігі. ( ) 0 0 , C C R X = — ( ) lim 0 t x t →∞ = (шексіздікте жойылады) шартын қанағаттандыратын , b u x C ∈ функцияларының тұйық ішкі кеңістігі. Анықтама-1. , b u x C ∈ функциясын ( 0 C ішкі кеңістігіне қатысты) периоды 0 ω > болатын, шексіздікте периодты функция деп атаймыз, егер ( ) 0 S x x C ω − ∈ болса. Мұндай функциялардың жиынын ( ) , , , C C R X ω ∞ ω ∞ = деп белгілейміз. , b u C банах кеңістігінде келесі түрдегі изометриялық операторлардың үзіліссіз тобын қарастырамыз: , : , b u S R EndC → ( ) ( ) ( ) ( ) , S t x s x s t = + , , , b u s t R x C ∈ ∈ . Келесі түрдегі айырымдық операторды қарастырайық: ( ) ( ) ( ) 1 x t Bx t f t + = + , ( ) t R ∈ (1) мұндағы B EndX ∈ және 0 f C ∈ . Теорема-1. B EndX ∈ сызықтық операторының спектрі келесі шартты қанағаттандыратын болсын: 1 саны B операторының спектрінің { } : 1 T C = λ∈ λ = бірлік шеңберіндегі жалғыз нүктесі болады. Онда, егер (1) теңдеуінің шенелген, бірқалыпты үзіліссіз x 0 шешімі бар болса, онда ол периоды 1 болатын шексіздікте периодты функция болады. Яғни 0 1, x C ∞ ∈ . Теореманы дәлелдеу үшін келесі екі лемманы дәлелдейік. Келесі теңдеуді қарастырайық: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + t R ∈ , 0 f C ∈ (2) Мұндағы A EndX ∈ операторы келесі шарттардың бірін қанағаттандырсын: ( ) 1 r A < ( ) 1 1 r A − < мұндағы екінші шартта A операторы қайтымды және ( ) r A мен ( ) 1 r A − сәйкес A және 1 A − операторларының спектральдық радиустарын білдіреді. Лемма-1. A операторы 1) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген 0 x шешімі 0 C кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады: 0 0 ( 1) n n x A S n f ∞ = = − − ∑ , 0 f C ∈ Дәлелдеуі: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 S x t S Ax t S f t − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x t AS x t S f t = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 I AS x t S f t − − = − ( ) ( ) 1 I A x S f − = − мұндағы ( ) , 1 b u A AS EndC = − ∈ . ( ) 1 S − — қайтымды изометрия, демек ( ) ( ) 1 r A r A = < . Сондықтан , b u I A EndC − ∈ операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады: ( ) ( ) 1 0 0 n n n n I A y A y A S n y ∞ ∞ − = = − = = − ∑ ∑ , , b u y C ∈ Демек, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 n n n n x I A I A x I A S f A S n S f A S n f ∞ ∞ − − = = = − − = − − = − − = − − ∑ ∑ мұндағы 0 f C ∈ және 0 0 x C ∈ . Лемма-2. A операторы 2) шартын қанағаттандыратын болсын. Онда (2) теңдеуінің кез келген бірқалыпты үзіліссіз және шенелген 0 x шешімі 0 C кеңістігінде жатады және жалғыз болады, бұл шешім келесі түрде анықталады: 1 0 0 ( ) n n x A S n f ∞ − − = = − ∑ , 0 f C ∈ Дәлелдеуі: ( ) ( ) ( ) 1 x t Ax t f t + = + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A x t x t A f t − − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A S x t x t A f t − − = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 I A S x t A f t − − − = − ( ) 1 I A x A f − − = − мұндағы ( ) 1 , 1 b u A A S EndC − = ∈ . ( ) 1 S — қайтымды изометрия, демек ( ) ( ) 1 1 r A r A − = < . Сондықтан , b u I A EndC − ∈ операторы үзіліссіз қайтымды болады және және кері операторы келесі түрде анықталады: ( ) ( ) 1 0 0 n n n n I A y A y A S n y ∞ ∞ − − = = − = = ∑ ∑ , , b u y C ∈ Демек, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 n n n n x I A I A x A S n A f A S n f ∞ ∞ − − − − − = = = − − = − = ∑ ∑ мұндағы 0 f C ∈ және 0 0 x C ∈ . |