Дәріс 13. Математикалық анализ элементтері
жүктеу/скачать 423,25 Kb.
|
Д ріс 13. Математикалы анализ элементтері
| Жаттығулар
6.1. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болса, келесі теңдік дұрыс па? Келесі функциялардың анықталу аймағының кез келген нүктесінде үзіліссіз екендігін дәлелдеңіз және графиктерін салыңыз (6.2-6.5): 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Келесі функциялардың үзіліс нүктелерін анықтап графиктерін салыңыз (6.6-6.8): 6.6 . 6.7. 6.8. Функцияларды үзіліссіздікке, оң жақ, сол жақ үзіліссіздікке зерттеңіз, үзіліс нүктелерінің тектерін анықтаңыз (6.9-6.15): 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. ТУЫНДЫНЫ ТАБУ ЕРЕЖЕЛЕРІТуындыны есептеудің бірнеше ережелерін қорытып шығарайық. Алдымен и(х) және v(х) функцияларының х нүктесіндегі мәндерін қысқаша былай белгілейік: и(х) = и, v(х)= v, и'(х) = и', v '(х) = v '. 1-ереже. Егер и және v функцияларының х нүктесінде и′,v′ туындылары бар болса, онда и+v (и-v ) функциясының х нүктесіндегі туындысы бар және ол (и +v)' = и' + v' ((и -v)' = и' - v' ) (1) формуласымен анықталады. Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туындыны табу алгоритмін қолданамыз. Ол үшін екі функцияның қосындысы и(х) + v (х) = Ғ(х) функциясын алайық және аргумент х-ке ∆х өсімшесін берейік. Сонда ∆Ғ(х) = Ғ(х + ∆х) – Ғ(х) = и(х + ∆х) — и(х) + v (х +∆х) – v (х) аламыз. Функция өсімшесін аргумент өсімшесі ∆х-ке бөлсек, ∆Ғ(х)/∆x =(Ғ(х + ∆х) – Ғ(х))/∆x=( и(х + ∆х) — и(х))/∆x+( v (х +∆х) – v (х))/∆x=∆u/∆x+∆v/∆x өрнегі шыгады. Осы өрнектің ∆х →0 ұмтылғандағы шегін табамыз: lim(∆u/∆x+∆v/∆x)=lim∆u/∆x+lim∆v/∆x= и' + v'. Осы ережені қолдануға мысал қарастырайық. 1-мысал. f(х) = х2 – х +5 функциясының туындысын табайық. Шешуі. f ′(х) = (х2 – х + 5) = (х2)′ - (х)' +(5)' = 2х – 1 + 0 = 2х – 1. Жауабы: 2х – 1. 2-ереже. Егер и және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар болса, онда берілген функциялардың көбейтіндісінің и•v функциясының осы х нүктесіндегі туындысы бар және ол (и•v )' = u'v + uv' (2) формуласымен анықталады. Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туындыны табу алгоритмін қолданамыз. Аргумент х-тің ∆х өсімшесіне сәйкес келетін и•v функциясының өсімшесінің өрнегін анықтайық. (и+ ∆и)( v+∆v)–иv= иv+∆иv +и∆v+ ∆и∆v– иv = ∆иv +и∆v+ ∆и∆v немесе (и + ∆и)( v+∆v) – иv =∆иv + и∆v+ ∆и∆v Теңдіктің екі жағын да аргумент өсімшесіне бөлеміз: ((и + ∆и)( v+∆v) – иv)/∆х=∆u/∆x•v+∆v/∆x•u+∆u/∆x•∆v. ∆х→0 ұмтылғандағы шегін анықтайық: lim(∆u/∆x)•v+(∆v/∆x)•u+∆u/∆x•∆v)=vlim∆u/∆x+ulim∆v/∆x +∆vlim∆u/∆x=v•u′+u•v′,себебі ∆х→0 , ∆u→0, ∆v→0. Салдар. Егер f(x) функциясының х нүктесінде туындысы бар болып, ал С тұрақты сан болса, онда Сf(x) функциясының осы х нүктесінде туындысы бар және ол (Сf(x))' = С • f'(x) (3) формуласымен анықталады. (З)-ті екінші ережені қолданып дәлелдейік. 2-мысал. у =(3х2–7х+5)(2х – 3) функциясының туындысын табайық. Шешуі. Мұнда и =3х2 – 7х + 5; v= 2х – 3; и' = 6х – 7; v' = 2 – 0 = 2, (u•v)' = и'v+ и• v' формуласын пайдаланамыз. у' = ((3х2 – 7х + 5)(2х-3))' = (6х- 7) (2х-3) + 2 • (3х2 – 7х + 5)= 12x2 – 14х – 18х+ 21 + 6х2 – 14х+ 10 = 18x2 –46x+ 31. Жауабы: 18x2 – 46x+ 31. Туындыны есептеудің келесі ережесін берейік. 2-ереже.Егер u және v функцияларының х нүктесінде туындылары бар және Vǂ0 болса, онда u/vфункциясының да х нүктесінде туындысы бар және ол туынды (u/v)2= (u′-v′)/v2 (4) формуласы арқылы анықталады. Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін туындының анықтамасы мен туындыны табу алгоритмін қолданамыз. Ол үшін аргументтін ∆х өсімшесіне сөйкес келетін и функциясының өсімшесін ∆и, v функциясының өсімшесін ∆ vдеп алайық. Онда функциясының өсімшесін анықтайық: (u+∆u)/(v+∆v)-u/v=((u+∆u)v-u(v+∆v))/(v+∆v)v=(uv+∆uv-uv-u∆v)/v(v+∆v)=(∆uv-u∆v)/ (v+∆v)v. Осы өрнекті аргумент өсімшесі ∆х-ке бөлеміз: ((u+∆u)/(v+∆v)-u/v)/∆x=(∆u/∆x•v-u•∆v/∆x)/ v(v+∆v). Енді u=u(x) және v=v(x) функциялары үзіліссіз болғандықтан, ∆х→0 болған жағдайда, ∆u→0 және ∆v→0 екенін ескеріп, ∆х→0 шегін анықтаймыз: lim(∆u/∆x•v-u•∆v/∆x)/v(v+∆v)=(u′v-uv′)/(v+0)•v=)=(u′v-v′)/v2 бөліндінің туындысын анықтайтын (4) формула шығады. 3-мысал. у=х2/(х2+1) функциясының туындысын есептейік. Шешуі. у′=( х2/(х2+1))′=((x2)′•(x2+1)-x2•(x2+1)′)/( x2+1)2=(2x•( x2+1)-x2•2x)/ ( x2+1)2 Жауабы: 2x/( x2+1). Енді дәрежелік функцияның туындысын есептеу формуласын берейік.1-ден үлкен кез келген пϵN үшін у = хпдәрежелі функция туындысы жүктеу/скачать 423,25 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|