Дәріс №3. Автоматы басқару жүйесіндегі жалпы аналитикалық тәуелділіктер

x(t) үшін шығыс сигналды
y(t)
есептеуге мүмкіндік алу болып табылады.

Дифференциал теңдеудің сызықталуы. Кез келген автоматты жүйенің динамикалық дифференциалды теңдеулерді құрастыру кезінде жүйені жеке буындарға бөледі және әр буын үшін дифференциалды теңдеуді құрастырады. Аралық айнымалыларды ескермеу арқылы бір теңдеуге түрлендіруге болатын барлық буындардың жеке теңдеулері бірыңғай жүйені құрайды.
Динамилық теңдеуді кез келген сызықты емес түрге ие болатын буынды қарастыралық.
  

мұндағы
y - шығыс шама;


F( y. y, y, x. x)  f
 0 ,

y - уақыт бойынша бірінші туынды;

y - уақыт бойынша екінші туынды;
x. f - кіріс шамалар;

x - уақыт бойынша туынды.
Кез келген кіріс әсерлері кезінде буындағы процесті сипаттайтын теңдеуді динамика теңдеулері деп атаймыз.

Тұрақты кіріс әсерлері
x  x⁰
кезінде буындағы
f  f ⁰ процесс уақыт

ағыны бойынша қалыптасады (орнығады): шығыс шамасы тұрақты мәнде
y  y⁰ болады. Онда теңдеу келесі түрге F( y⁰ ,0,0, x⁰ ,0)  f ⁰  0 ие болады.
Сызықты емес теңдеулердің сызықталу негізінде барлық айнымалылар өзгереді деген болжам жатыр және орныққан мәндерінен олардың ауытқуы уақыт бойынша өте аз болып саналады.

Ауытқуды
x, y
деп белгілейміз. Онда динамикалық процесте

  ^{ }

x  x₀  x,
y  y₀  y,
y   y, y  y

айнымалылардың динамикалық ауытқуының кейбір орныққан мәндерден аз болу шарты АР жүйесі үшін әрқашан да орындалады. Сыртқы әсер АЖ жұмысына тәуелді емес, оның кез келген өзгерісі болуы мүмкін, сондықтан да оң жақ бөлігі сызықталуға жатпайды.
Тейлор қатарына F функцияны жіктейміз:

 
_{F } дF _{y } дF ^ дF _ ^


 ^дF x  ^дF    f

 f
 0.
(3.3)

⁰ дy
 ^y   ^{y
д y} д y ^дx

• 
  x ₀
  

д x

Теңдеудегі барлық жеке туындылар тұрақты коэффициенттерге ие. Осы теңдеуден статика теңдеуін шығара отырып, берілген буын үшін қажетті сызықталған динамика теңдеуін аламыз:

дF дF дF

дF
^  
    y  


 ^дF x  f

 0.
(3.4)

  ^y  ^y  ^x
д y ^{д y дy д x}

дx
Бұл дифференциалды теңдеу автоматты жүйенің сол буынын, сондай-ақ динамикалық процесін сипаттайды. Бұл теңдеу жуықталған болып табылады. Жіктеу процесі кезінде жоғары реті алынып тасталған, уақыттың белгісіз функциялары алдынғы шамалар болмайды, олардың кейбір орныққан

мәндерінен ауытқуы
x, y
болады, алынған теңдеу тұрақты

коэффициенттерімен ауықтуға қарағанда сызықты болып табылады. Бұл теңдеу ауытқулар кезіндегі буынның дифференциал теңдеуі деп аталады. АРЖ-де буындардың дифференциал теңдеулерін екі стандартты түрде жазу қабылданған.
Дифференциал теңдеулерді шығыс шамамен және оның туындылары сол жағында, ал кіріс шамамен және басқа бар мүшелері оң жағында болатындай, ал шығыс шаманың өзі бірлік коэффициентімен теңдеуге кіретіндей етіп жазамыз. Сызықталған теңдеудің стандартты түрге келтіру үшін белгілеулер енгіземіз.

^дF  a ,
^дF  a , ^дF  a , ^дF   b , ^дF   b , c  1

  ⁰
д y
_ 1 _дy 2 _ 0 1 0
д y д x д x

ескере отыра алатынымыз

^  

a₀  y  a₁  y  a₂ y  b₀  x
 b₁x  c₀f
 0,
(3.5)

^  

Белгілейміз:
a₀  y  a₁  y  a₂ y  b₀  x
 b₁x  c₀f .

2
^a0  T ² ,
a₂
a

1

a
 T₁ ,
2
b

1

b
 k₁ ,
0
^b0  k ,

2
b₁
^c0  k ,

0
a₂

мұндағы T₁ ,T₂ ,T₀ - берілген буынның уақыты,
k₁ , k₂ , k₀  беріліс коэффициенттері.

Осыны ескере отыра:

T ²  y  T

 
 y  y  k  x

• 
  k x  k
  

f .

2 1 2 1 2
x₀  y₀  f₀  0 , x  x  x₀  x, y  y  y₀  y,
  ^{ }  

f 
f  f₀ 
f ,  y  y,  y  y,  x  x
деп есептейміз.

Стандартты түрдегі теңдеу:


T ² y  T

y  y  k (T

x  1)x  k
f . (3.6)

2 1 1 0 2

d y ²
Теңдеуді символ түрінде жазамыз. Бұл үшін операторларды енгіземіз
d y

d t ²
 p ² ,
 p , символ түрінде стандартты түрін:
d t
y (T ² p ²  T p  1)  k (T p  1)x  k


f . (3.7)

2 1 1 2
Теңдеудің екінші формасы:

0

1
a p ² y  a
p y  a₂
y  b₀
px  b₁x  c₀ f ;
(3.8)

y (a₀
p ²  a
p  a₂
)  (b₀
p  b₁ )x  c₀ f .

1
Белгілеулер енгізіміз:

2
Q( p)  a₀ p

• 
  a₁
  

p  a₂

• 
  меншікті дифференциал операторы;
  

R₁ ( p)  b₀ p  b₁ , R₂ ( p)  c₀ - әсердің операторы.

Онда алатынымыз:
Q( p) y  R₁ ( p) x  R₂ ( p) f
Беріліс функциялары.

қарапайым түрдегі.

Өзінің операторына оператор әсерінің қатынасы деп беріліс функциясы немесе оператор түріндегі беріліс функцияларын айтады.
Теңдеумен жазылатын екі беріліс функциямен сипаттауға болады: x

кіріс шама бойынша W₁ ( p)
беріліс функциясы, яғни

W ( p)  ^{R1 ( p)} 
b₀ p  b₁
(3.9)

¹ Q( p)
a p ²  a p  a

1

0
2