Максвелл теңдеулерінің жалпы қасиеттері

1. Максвелл теңдеулері (3.8.1) уақыт бойынша бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулер болып табылады. Бұл олардың шешімін біркелкі бөлу үшін бастапқы шарттарды (3.8.7) орнату керек дегенді білдіреді. Теңдеулердің бұл қасиетінде себептіліктің электродинамикалық принципі көрінеді.

   
   

2. Максвелл теңдеулері (3.8.1) - кеңістіктік координаттар бойынша бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулер. Сондықтан, олардың шешімін біржақты анықтау үшін шекаралық шарттарды белгілеу қажет. Вакуумдағы электромагниттік құбылыстарды қарастырғанда, оқшауланған жалғыз бет-бұл шексіз алыс бет. Мұнда және өрістеріне әдетте белгілі бір табиғи шекаралық жағдайлар қолданылады. Әдетте, олар r → ∞ кезінде және векторларының модульдерінің тез төмендеуін талап етеді. Үздіксіз тасымалдағыштар болған кезде шекаралық шарттар олардың интерфейстерінде де орнатылуы керек. Бұл шарттар (3.8.5)-ге ұқсас интегралды түрде берілген сәйкес өріс теңдеулерінен алынған (курстың екінші бөлімін қараңыз).

   
   

3. Вакуумдағы Максвелл теңдеулері үшін бірегейлік теорема әділетті: берілген бастапқы және шекаралық жағдайларда (3.8.1) теңдеулердің жалғыз шешімі болады.

   
   

4. Максвелл теңдеулеріне кіретін физикалық шамалар кеңістіктік координаттар жүйесінің айналу түрлендірулеріне қатысты айқын мінез-құлыққа ие. Атап айтқанда, олардың анықтамаларынан көрініп тұрғандай, ρ-скаляр, ал , , – векторлар. Дивергенция скалярлық операция және ротор векторлық болғандықтан, бұл кеңістіктік айналуларға қатысты (3.8.1) теңдеулердің коварианттығын (форманың өзгермейтіндігін) қамтамасыз етеді. Олардың бұл қасиеті кеңістіктің изотропия қасиетінің көрінісі болып табылады.

   
   

5. Енді Максвелл теңдеулеріне кіретін физикалық шамалардың кеңістіктік инверсияның түрленуіне қатысты трансформациялық қасиеттерін қарастырайық .

   
   

(а) Электр заряды q – инвариантты шама, сондықтан оның тығыздығы ρ-скаляр, яғни координаталар жүйесінің айналуында да, оның осьтері айналғанда да өзгермейді..

(д) (1.3.5) ұқсас формуласынан Максвеллдің модификацияланған теңдеулерінде (3.8.9) гипотетикалық магниттік зарядтың ρ_m тығыздығы g псевдоскаляр болуы керек (кеңістіктік инверсия кезінде белгіні өзгертеді), ал – магниттік ток тығыздығы псевдовектор. Егер дивергенция скалярлық операция, ал ротор псевдовектор деп санасақ, онда Максвелл теңдеулері (3.8.1), сондай-ақ (3.8.9) теңдеулер кеңістіктік инверсияны түрлендіруге қатысты ковариантты екендігі бірден белгілі болады. Олардың бұл қасиеті кеңістіктің айна симметриясының қасиетін білдіреді.

6. Максвелл теңдеулері сызықтық теңдеулер болып табылады, онда электромагниттік өріс үшін суперпозиция принципі көрінеді (дәлірек айтқанда, оның көздерінің тәуелсіздік принципі). Айта кету керек, үздіксіз ортаға көшу кезінде өрістердің макроскопиялық орташалануы кезінде бұл қасиет, әдетте, жоғалады. Осыдан келіп «сызықсыз оптика» және соған ұқсас терминдер пайда болды. Максвелл теңдеулеріндегі эффективті сызықты еместік кванттық әсерлерге байланысты вакуумда да пайда болуы мүмкін. Олар, мысалы, фотондардың өзара шашырау мүмкіндігіне, ал макроскопиялық деңгейде - жарық сәулелерінің әрекетінің тәуелсіздігінің оптикалық принципінің бұзылуына әкеледі. Бірақ мұндай әсерлердің әлсіздігі сонша, олар эксперименттік тіркеу шегінде болады.

   
   

7. Максвелл теңдеулері автоматты түрде электр зарядының сақталу заңын қамтиды. Шынында да (3.8.1, г) және (3.8.1, а) теңдеулерінен бізде

   
   

ол қысқарғаннан кейін үздіксіздік (1.2.19) теңдеуін береді.

6. Максвелл теңдеулері и векторлық өрістерге арналған бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Алайда, бұл өрістер үшін тәуелсіз дифференциалдық теңдеулерді алуға болады, бірақ екінші ретті. Ол үшін (3.8.1,г) (3.8.1,б) теңдеулердің екі бөлігінен роторларды алып, содан кейін (3.8.1,а) және (3.8.1,в) теңдеулерді қолданыңыз.:

   
   

және

(3.9.1)
және

(3.9.2)
тиісінше. Дифференциалды оператор

(3.9.3)
ол Даламбер операторы немесе даламбериан деп аталады Оның көмегімен (3.9.1) және (3.9.2) теңдеулер қысқаша жазылады:

(3.9.4)
және

(3.9.5)
Олар Даламбер теңдеулер класына жатады. Көздер жоқ кеңістік аймақтарында, яғни ρ= 0 және = 0, бұл теңдеулер толқындық теңдеулерге айналады.

(3.9.6)
Демек, электромагниттік өріс, негізінен, бар және оны тудырған көздерден тәуелсіз деген қорытынды жасауға болады. Ол бос кеңістікте электромагниттік толқындар түрінде тарай алады және олардың жылдамдығы электродинамикалық тұрақты с-қа тең.