Вакуумдағы электростатикалық теңдеулер

(5.19.1)

Екінші теңдеулер жұбы, негізінен, тривиальды емес шешімдерге ие болуы мүмкін: мысалы, біркелкі өріс барлық кеңістікті толтырады. Бірақ мұндай өрістер тынығу зарядтарына қатысы жоқ, бірақ кейбір қосымшалар арқылы жасалады «Шексіз қашықтағы» көздер. Ал егер теңдеулердің екінші жұбына қоссақ табиғи шекаралық шарт (), содан кейін бірегейлік теоремасы бойынша оның тривиальды шешімі ғана болады
Сондықтан мұнда магнит өрісі қарастырылмауы мүмкін.

Бұл жағдайда негізгі қызығушылық электр өрісі болып табылады соған сәйкес электростатикалық деп аталады. (5.19.1)-ден көрініп тұрғандай, ол келесі теңдеулерге бағынады:

. (5.19.2)
бірінші теңдеу көздердің бар екенін көрсетеді электр зарядтары болып табылатын электростатикалық өріс. Екінші теңдеу кез келген электростатикалық өрістің потенциалды екенін көрсетеді.

Интегралдық түрде (5.19.2) теңдеулер былай жазылады

. (5.19.3)
Бұл теңдеулер (2.8.5), егер уақыт пен токқа қатысты барлық туындыларды қойсақ нөлге тең. Дегенмен, оларды тікелей (5.19.2) арқылы алу әлдеқайда оңай. Бірінші теңдеу (5.19.3) Гаусс теоремасы деп аталады. Жалпы физика курсынан белгілі болғандай, ол симметриялы жағдайларда электростатикалық өрістерді есептеу үшін кеңінен қолданылады. Екінші теңдеу (5.19.3) электростатикалық өрістің потенциалдылығына эквивалентті және кез келген тұйық контурдағы электростатикалық күштердің жұмысы белгілі факт нөлге тең.
Дифференциалдық теңдеулерге (5.19.2) оралайық. Өздері бар шешімдер шексіз көп, бірақ физикалық тұрғыдан алғанда, бұл берілген қажет зарядтардың таралуы, электростатикалық өріс түшін қатаң анықталған. Оған
(5.19.2) теңдеулердің жалғыз шешімін таңдаңыз, оларға шекаралық шарттарды қосу керек.

Егер зарядтың тығыздығы координаттардың үзіліссіз функциясы болып табылса, онда вакуумде тек бір ғана шексіз алыс таңдалған бет бар . Бұл жағдайда өріс әрекетін бекітетін табиғи шекаралық шарт шексіздікте орнатыңыз . Ол зарядтардың таралуы шектелген кезде қойылады. Кем дегенде, бұл функциясы жеткілікті жылдам () қашықтық ұлғайған сайын қажет азаяды. Сонымен бірге өрісі талап етіледі Кулон өрісінен баяу емес шексіздікте төмендегенде:

үшін . (5.19.4)
мұндағы А – қандай да бір оң тұрақты.

Бұл беттерде қосымша шекаралық шарттар орнатылуы керек көлемді заряд тығыздығы кейбір ерекшеліктері бар: ол секіреді (мысалы, біркелкі зарядталған шардың беті) немесе шексіздікке барады (мысалы - біркелкі зарядталған шар). 2.8-бөлімде айтылғандай, ұқсас шекаралық шарттар Максвелл теңдеулерінен интегралдық түрдегі (2.8.5) алынады, бұл жағдайда – бастап теңдеулер (5.19.3).

Қиылысып жатқан кішкентай цилиндр үшін осы теңдеулердің біріншісін жазайық таңдалған S беті және осы бетке перпендикуляр генераторлары бар, және негіздері оған параллель (суретті қараңыз):
Мұндағы – өрістің қалыпты компоненттері, – оның тангенциалды құраушылар, – көлемдік заряд тығыздығының тұрақты бөлігі, зарядтың беттік тығыздығы. Егер болса, онда S бетінде зарядтың жалпы тығыздығы тек шексіздікке барады. Қарастырылып отырған цилиндрдің шағындығын ескере отырып, алу

қайда

. (5.19.5)

Енді кіші тіктөртбұрыш үшін екінші теңдеуді (5.19.3) жазамыз, таңдалған S бетін қиып, екі жағы перпендикуляр бет, ал қалған екеуі оған параллель (қараңыз.сурет):

қайда

. (5.19.6)

(5.19.7)

. (5.19.8)

Жоғарыда вектор кернеу Бірақ, бұрын болғандай, күйлерді сипаттаудың басқа жолы мүмкін өрістер, неғұрлым «үнемді». Қарастырылып отырған жағдайда екінші теңдеуі (5.19.2) Ол кез келген электростатикалық өріс екенін айтады потенциал: мұндай скаляр өріс бар , не

(5.19.9)

функциясы электростатикалық потенциал деп аталады. Ол ретінде әрекет етеді электростатикалық өріс күйінің басқа мүмкін айнымалысы. байқа, бұл

потенциалы теңдікпен (5.19.9) біркелкі анықталмайды. Оған қосуға болады болатын кез келген 𝛹 функциясы. Бірақ соңғы шарт мынаған тең теңдіктері , мұндағы 𝛹=const. Осылайша, елдегі озбырлық j потенциалының анықтамасы шын мәнінде соншалықты үлкен емес. Сіз оған қоса аласыз тек тұрақты шама және жалпы калибрлі түрлендіру (3.10.6) бұл жағдайда төмендейді ауыстыру

(5.19.10)
Көбінесе C тұрақтысын таңдауға болады

үшін (5.19.11)

Потенциалды және онымен байланысты мәселелердің физикалық мағынасын талқылауды дейін қалдыру келесі бөлімде математикалық есептің тұжырымын қарастырыңыз, оның шешімі мәнін табуға мүмкіндік береді. Потенциал теңдеуі алмастыру арқылы өрнектер (5.19.9) электростатиканың бірінші негізгі теңдеуіне алынады (5.19.2) не береді

(5.19.11)
Осылайша, электростатикалық потенциал Пуассон теңдеуіне бағынады және оларда электр зарядтары жоқ кеңістік аудандары () – Лаплас теңдеуі

. (5.19.12)

потенциалының шекаралық шарттары жоғарыда тұжырымдалғандардан туындайды өрісінің шекаралық шарттары Егер зарядтың тығыздығы үздіксіз функция болса, онда табиғи шекаралық шартты белгілеу жеткілікті. Зарядтардың шектеулі таралуымен (немесе қашықтықтың артуымен функциясының жеткілікті жылдам төмендеуі үшін) (5.19.4) бұдан былай шығады: потенциал шексіздікте кулондық потенциалдан баяу емес кемуі керек:

үшін (5.19.13)

(5.19.14)

формулалары тангенциал және нормаль үшін келесі өрнектер

(5.19.15)

(5.19.16)

. (5.19.17)

(5.19.18)

(5.19.19)

Электростатика есептерін шешудің негізгі әдістері мен мысалдары төменде.