Дифференциальные уравнения высшего порядка
Ответ. Общее решение уравнения (21) имеет вид (24) 4. Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа
жүктеу/скачать 0,72 Mb. Pdf көрінісі
|
| Ответ. Общее решение уравнения (21) имеет вид
4. Линейные неоднородные уравнения. Метод Лагранжа (вариации постоянных). Общее решение неоднородного уравнения
представляет собой суммы общего решения соответствующего однородного уравнения
(2)
и частного решения уравнения (1):
образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения, то
и
(4) где
– произвольные постоянные числа. Частное решения неоднородного уравнения (1) будем искать в виде
(5)
где – неизвестные функции. Формально всё выглядит так, как если бы константам в уравнении (4) разрешили изменяться (варьироваться). Прежде чем подставить функцию (5) в уравнение (1), обеспечим себя соответствующими заготовками. 14
(6) Потребуем, чтобы первое выражение в скобках правой части этого равенства было равно нулю:
(7) (как если бы функции продолжали оставаться константами). Далее,
(8)
Вновь потребуем, чтобы первое выражение в скобках правой части этого равенства было равно нулю:
Следуя подобному алгоритму, мы доберёмся до формулы
(10) и на этот раз потребуем, чтобы первое выражение в скобках правой части этого равенства было равно
(11)
Подведём промежуточные итоги. Для функции и её производных имеем следующие формулы:
Подставляя эти равенства в уравнение (1), в левой части получим выражение 15
которое (с учётом уравнений (3)) тождественно совпадает с правой частью . Следовательно, функция вида (5) является решением уравнения (1).
Функции должны удовлетворять уравнения (7), (9), (11) и им аналогичным, которые подразумевались в процессе вычислений:
Убедимся в том, что такой набор требований не является противоречивым. Действительно, условия (12) образуют неоднородную систему алгебраических уравнений. Определителем коэффициентной матрицы является определитель Вронского,
который отличен от нуля в силу линейной независимости функций Тогда по теореме Крамера система уравнений (12) совместна и имеет единственное решение относительно переменных
(13)
Легко проверить, что функции образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение этого уравнения описывается функцией где
– произвольные константы. Частное решение уравнения (13) имеет вид
(14)
Производные функций удовлетворяют алгебраической системе уравнений 16
(15) Найдём решение этой системы: Далее,
Таким образом, Общее решение уравнения (13) имеет вид
жүктеу/скачать 0,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|