Дифференциальные уравнения высшего порядка
Линейные однородные уравнения с постоянными
жүктеу/скачать 0,72 Mb. Pdf көрінісі
|
Диф. уравнения высшего порядка
| 5. Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами Уравнение вида
где – постоянные вещественные коэффициенты , называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Чтобы составить фундаментальную систему решений уравнения (1), нужно найти линейно независимых частных решений. Такие частные решения будем искать в виде
где – постоянное число (вещественное или комплексное). Тогда Подставляя эти выражения в (1), получим уравнение
(2)
17
которое называется характеристическим. Формально оно получается заменой в уравнении (1) производных j-го порядка от функции соответствующими степенями Каждому корню уравнения (2) соответствует частное решение уравнения (1). В соответствии с основной теоремой алгебры уравнение имеет ровно n , среди которых могут быть и совпадающие друг с другом (вырожденные корни). Термины “двукратно вырожденный корень”, “трехкратно вырожденный корень” и так далее вырожденные используют для обозначения двух, трех и так далее совпадающих корней. 1) Если все корни характеристического уравнения различны (то есть являются невырожденными), то функции
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1) и, следовательно, общим решением уравнения (1) является функция
(Функции линейно независимы, поскольку их определитель Вронского отличен от нуля.) 2) Если среди корней имеется комплексный корень, например,
то и комплексно сопряженное выражение также является корнем характеристического уравнения (2). Тогда из комплексных решений
и можно получить вещественные решения, составив линейные комбинации вида
18
3) Пусть корень является двукратно вырожденным: Каждому из этих двух корней соответствует всего лишь одно решение . Для получения второго линейно независимого решения можно составить линейную комбинацию
временно рассматривая как различные корни, и выполнить затем предельный переход Применяя правило Лопиталя, получим второе частное решение, соответствующее корням
является r-кратно вырожденным, то аналогичные рассуждения приводят к системе линейно независимых функций
жүктеу/скачать 0,72 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|