Дифференциальные уравнения высшего порядка

то функция 

  

 

 

(13) 

также является решением этого уравнения, где 

 – одна из первообразных 

функции 

 

 

Доказательство. Согласно условиям теоремы, 

 

 

(14) 

Предположим,  что  функции 

  и 

  линейно  независимы,  и  при  этом 

функция 

 также  является решением уравнения (12): 

 

 

(15) 

Умножим уравнение (14) на  , уравнение (15) на   и затем почленно вычтем 

из одного полученного уравнения другое: 

 

 

(16) 

Составим определитель Вронского: 

 

Продифференцируем последнее уравнение: 

 

Тогда уравнение (16) можно представить в виде 

 

что влечёт 

 

 

 

9 

 

 

 

Следствие. Функция 

 

 

(17) 

является общим решением уравнения (12). 

Действительно,  функции 

  и 

  образуют  фундаментальную  систему 

решений уравнения (12). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид 

 

Учитывая формулу (13), получаем требуемое утверждение. 

Формула  (17)  называется  формулой  Абеля.  Она  позволяет  записать  общее 

решение  линейного  однородного  уравнения  2-го  порядка,  если  удалось 

“угадать” всего лишь одно его частное решение. 

Отметим,  что  формула  (17)  включает  в  себя  формулу  (13)  в  качестве  частного 

случая, если выбрать 

 

3.2.  Примеры. 

1.   Частным решением уравнения 

 

 

(18) 

является 

. Подставляя 

, получим 

 

 

 

 

Поскольку   удовлетворяет однородному уравнению 

, то и 

функция  

 является решением этого уравнения. Таким образом, 

второе линейно независимое решение уравнения (18) имеет вид 

10 

 

 

Поскольку функции 

 

образуют  фундаментальную  систему  решений  уравнения  (18),  то  общее 

решение этого уравнения имеет вид 

 

2.  Найдём  общее  решение  уравнения  (18)  с  помощью  формулы  Абеля, 

считая известным частное решение 

. 

Разделив  обе  части  уравнения  (18)  на  коэффициент  при  производной 

старшего порядка, получим уравнение 

 

Затем найдем первообразную функции  

: 

 

Далее, 

 

Применяя формулу Абеля, запишем общее решение уравнения (18): 

 

(Для  более  краткой  записи  результата  множитель 

  включен  в 

константу 

 

3.  Частные решения уравнения 

 

 

(19) 

будем искать в классе функций 

: 

 

 

11 

 

Следовательно,  функция 

  является  частным  решением 

уравнения (19). Для нахождения второго линейно независимого решения 

используем подстановку  

: 

 

 

 

 

 

Таким  образом,  мы  получили  второе  линейно  независимое  решение 

уравнения (19): 

 

Фундаментальная система решений уравнения (19): 

 

Общее решение уравнения (19): 

 

Заметим, что общее решение уравнения (19) можно записать, используя 

формулу  Абеля.  Нужно  только  предварительно  представить  это 

уравнение в виде 

 

 

(20) 

и учесть, что 

 

 

Тогда из формулы Абеля получаем 

 

12 

 

4.  Найти общее решение неоднородного уравнения 

 

 

(21) 

предварительно  убедившись  в  том,  одно  из  частных  решений 

однородного уравнения 

 

 

(22) 

имеет вид 

 

Решение.  Нетрудно  убедиться,  что    является  решением  однородного 

уравнения  (22).  Для  нахождения  второго  частного  решения  обратимся  к 

теореме 5 (формула (13)): 

 

где 

 

Тогда 

 

Поскольку речь идет о решении однородного уравнения, то в выражении 

для   знак “–” можно опустить. 

Таким образом, общее решение однородного уравнения найдено: 

 

Теперь проверим наличие частного решения неоднородного уравнения 

 

 

(23) 

в классе функций 

: 

 

 

13 

 

Полученное  уравнение  тождественно  удовлетворяется,  если 

,  что 

даёт нам частное решение  

 

жүктеу/скачать 0,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: