1.3.Біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесі.Біртекті емес жүйенің ортақ шешімінің құрылымы.Біртекті емес жүйені қарастырайық
(1)
Бізге осы жүйенің кейбір дербес шешімдері белгілі деп, болжап көрейік
сондықтан бізде мына тепе-теңдік бар
(2)
Формулаларға жаңа белгісіз фукцияларды енгіземіз
(3) фукцияларды (1) біртекті емес жүйеге қойып, аламыз
Осыдан, (2) тепе-теңдікке қарап, функциясына келесі дифференциалдық теңдеулердің біртекті жүйесін аламыз:
(4)
Бұл жүйе (1) біртекті емес жүйеге сәйкес,біртекті жүйе деп аталады.
(4) біртекті жүйенің жалпы шешімі мына формуламен беріледі
(5)
мұндағы осы біртекті жүйенің кейбір шешімдерінің фундаментальді жүйесі.
(5)-ті (3)-ке қойып, аламыз
(6)
(1)жүйенің барлық шешімдері (6) формуланың ішінде бар. Бұл формула (1) жүйенің жалпы шешімі болып табылады, мына облыстарда
(7)
яғни (1) жүйенің тапсырмасының барлық облыстарында.
Осылайша, (1) біртекті емес жүйесінің жалпы шешімін табу үшін, осы жүйенің қандай да бір дербес шешімін табу жеткілікті және оған (4) біртекті жүйеге сәйкес жалпы шешімін қосу керек.
Тұрақты ерік түрлендіру әдісі ( Лагранж әдісі). Т е о р е м а. Егер (4) біртекті жүйенің шешімінің фундаментальді жүйесі белгілі болса, онда (1) біртекті емес жүйенің жалпы шешімін квадратур арқылы табу мүмкін.
Осы теореманы дәлелдеу үшін ерікті тұрақты вариация тәсілін пайдаланайық.
(1) біртекті емес жүйенің шешімін мына түрде іздейік
(8)
мұндағы (4) біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальді жүйесі, ал – -тан кейбір үзіліссіз дифференциалданған функциялар. Бұл функцияларды (8) формула (1) жүйенің шешімін беретіндей етіп таңдап алайық.
(7)-ні (1)-ге қойып, аламыз
және (4) біртекті жүйенің шешімдерінің фундаментальді жүйесі екенін көңілге алып, біз анықтау үшін,келесі бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келеміз:
.
Бұл жүйе-ке қатысты шешілетін. Мынаны аламыз
.
Интегралдап, табамыз
мағыналарын (6) формулаға қойып, (1) жүйенің шешімін мына түрде табамыз
(10)
Мұнда деп болжап, мына шешімді аламыз
сондықтан (10) жүйені (6) түрде жазуға болады және, сәйкесінше, (10) формуламен анықталатын шешімі,(7) облыста (1) біртекті емес жүйенің шешімі болып табылады. Теорема дәлелденді.
