Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

19 
2
3
1
(
)
2
2
24
b
a
a
b
b
a
x
dx















мұндағы 

,
m
мен 
M
-нің арасында қамтиды. Үзіліссіз функцияның белгілі 
қасиетіне сәйкес, 
[ , ]
a b
аралығында 
*

нүктесі 
( *)
f




теңдігі бойынша 
табылып, ақырында 
3
(
)
( *)
24
b
a
f





(1.5.2) 
Е с к е р т у. 
Əрине, 
( )
f x
функциясын 
2
a b
x


дәрежелікке жіктесек,
бірінші дәрежелік кезінде екімүшені жіктеп, яғни формуланы қолдансақ 
( )
( )
2
2
a
b
a
b
f x
f
x
f




 
 




 


 

Бұл, интеграция кезінде, теңдікке әкеліп соқтырады 
( )
(
)
( )
2
2
b
b
a
a
a
b
a
b
f x dx
b
a f
f
x
dx






















сондықтан, қосымша мүше интеграл ретінде өрнекелуші еді 
( )
2
b
a
a
b
f
x
dx













( )
f x

бірінші туындыны ғана құрайды. Бірақ осы жерде екінші көбейткіштің 
интегралдық өрнегі 
[ , ]
a b
интервалында таңба өзгереді және жалпыланған 
орташа мән теоремасының қолданылуында - 

табуды жеңілдету үшін - мүмкін 
емес болады. (1.4.1) теңдікке қатысты тейлорлық жіктеудің тағы бір мүшеге 
жіктелуі жетістікке әкелді. 
Егерде 
[ , ]
a b
интервалын теңдей 
n
бөлікке бөлсек, онда әрбір жартылай 
интервалда 
1
[ ,
]
i
i
x x

осындай дәл формулаға ие боламыз 
1
3
1/2
1
3
(
)
( )
(
)
( *) (
*
)
24
i
i
x
i
i
i
i
i
x
b
a
b
a
f x dx
f x
f
x
x
n
n














20 
Осы теңдеулерді мүшелеп біріктіргенде (
0,1,...,
1
i
n


жағдайында), 
кәдімгі қысқартылған таңбаларынан аламыз 
1
3
1
2
2
2
( )
(
...
)
b
n
n
a
b
a
f x dx
y
y
y
R
n




 


мұндағы өрнек 
3
0
1
1
2
(
)
( *)
( *) ...
(
*)
24
n
n
b
a
f
f
f
R
n
n









 

тіктөртбұрыштардың (1.2.1) нағыз қосымша формуласы [13] болып келеді. 
Өйткені 
0
1
( *) ...
(
*)
n
f
f
n





 
ол да 
m
мен 
M
аралығында және 
( )
f
x

функция мәнінің бірінде қамтиды. 
Сол себепті, ақырында осыған тоқталамыз 
3
2
(
)
( ) (
)
24
n
b
a
R
f
a
b
n





 
(1.5.3) 
Өсу ретінде 
n
сол қосымша мүше 
2
1
n
шамамен кемиді. 
Мысал ретінде 
1
2
0
1
dx
x


интегралының есептеуіне қайтып келейік. 
2
1
( )
1
f x
x


интегралды функциясына 
2
2 2
3
1
( )
2
(1
)
x
f
x
x




бар болады; бұл 
[0,1]
аралығындағы туынды таңбасын өзгертеді, бірақ абсолютті шама ретінде 2-ден 
төмен болып қала береді. Осыдан, (13) формула бойынша 
3
10
<0,85 10
R


[14]. 
Біз ординатаны төрт мәнге дейін 
0,00005
дәлдігімен есептедік; ординатаның 
жуықтап алынған қателігі жоғарыдағы бағалауға қосылуы мүмкін екендігіне 
көз жеткіздік. Нағыз қателік, шынымен де, бұл шектеуден аз. 
1.6 Трапеция формуласының қосымша мүшесі. 
Алдыңғы болжамдар бойынша 
( )
f x
функциясына қатысты (1.3.4) 
формуласымен айналысайық. Лагранждың интерполяциялық формуласын 
қосымша мүшесімен қолдана отырып, осыны жаза аламыз 

21 
1
1
( )
( )
( )(
)(
) a< <
2
f x
P x
f
x
a x b
b







 
 
Осы формуланы 
a
-дан 
b
аралығында интегралдасақ, келесіні табамыз 
( )
( )
1
( )
(
)
( )(
)(
)
2
2
b
b
a
a
f a
f b
f x dx
b
a
f
x
a x
b dx










сондықтан формуланың (6) қосымша мүшесі болады 
1
( )(
)(
)
2
b
a
f
x
a x
b dx







Жоғарыдағыдай пайымдағанда екінші көбейткіштің интегралды функциясы 
мен өзгерілмейтін таңбаны қолдана отырып, табамыз 
3
1
(
)
( *) (
)(
)
( *) (a
*
)
2
12
b
a
b
a
f
x
a x
b dx
f
b










 



Жұлдызшасы бар таңбаларды біз ылғи да шамамен айтамыз, яғни 

өзгеруі 
n
өзгеруімен байланысты [15].
Ақырында, интервалды 
n
теңдей бөлікке бөлу жағдайы үшін
3
2
(
)
( ) (a
)
12
n
b
a
R
f
b
n




 
 
(1.6.1) 
Трапецияның (1.2.2) қосымша мүшесі деп соны айтамыз. 
n
өскен сайын дәл 
солай, шамамен, 
2
1
n
кемиді. Біз көреміз, трапеция формуласының қолданылуы 
тіктөртбұрыштар формуласының сол қатарлы қателігіне әкеледі. 
1.7 Симпсон формуласының қосымша мүшесі. 
 
(1.3.6) формулаға назар аударайық. Лагранждың интерполяциялық 
формуласының қосымша мүшесіне қайтып келіп, осылай ала аламыз 
2
( )
( )
( )
(
)
(
) (
)
3!
2
f
a
b
f x
P x
x
a
x
x b
a
b











 




(1.6.2) 

22 
Біз қайттан дәл сол жағдайға тіреліп келеміз. Теңдеуді интегралдаған кезде біз 
қосымша мүшесін орта теоремасыз өрнекті ықшамдай алмаушы едік, өйткені, 
(
)
(
)
2
a
b
x
a
x
x b





 




интегралды функциясы 
[ , ]
a b
интервалында таңбасын 
өзгертеді. Сондықтан, біз басқаша жасаймыз 
Өрнекті 
2
( )
(
)
(
)
2
a
b
R z
K z
a
z
z
b











K
қандай да бір сан болмасын, 
,
2
a
b
z
a


нүктелерінде, 
b
дәл сол 
( )
f z
функциясының мәндерін қабылдайды [16]. Енді 
K
санын 
2
a
b
z


кезінде 
туындысы 
2
a
b
f







туындысымен сәйкес келетіндей етіп табуға болады. 
Сонымен қатар, 
K
-нің осындай мәнімен, біз Эрмиттің интерполяциялық 
мүшесінің өрнегін аламыз, ол қарапайым 
,
a b
түйіндері мен 
2
a
b

қостүйіні 
үшін жауап береді. Эрмиттің қосымша мүшесінің формуласын [17] қолдана 
отырып, 
( )
f x
функциясының бар болуының болжауында, төртінші ретті 
туындысын қоса отырып - осыны аламыз: 
2
(4)
2
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2
4!
2
a
b
f
a
b
f x
P x
K x
a
x
x
b
x
a
x











 










(
) (a< x
b


Енді теңдікті 
a
-дан 
b
-ға дейін интегралдаймыз; сонда
2
(4)
1
( )
( )
4
( )
( )(
)
(
)
6
2
24
2
b
b
a
a
b
a
a
b
a
b
f x dx
f a
f
f b
f
x
a
x
x
b dx

 




























2
2
(
)
(
)
(
)
0
2
2
2
4
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
b
a
x
a
x
x
b dx
x
x
dx









 














 




 







Егерде 
(4)
( )
f
x
функциясының туындысын үзіліссіз десек, онда алдыңғы 
жағдайлар секілді, қосымша мүше формуласы (1.3.6) 
2
(4)
1
( )(
)
(
)
24
2
b
a
a
b
f
x
a
x
x b dx















23 
екінші көбейткіштің интегралды өрнегінің таңбасы өзгермейді [18] және 
осындай түрге келтіруге болады: 
2
(4)
1
( ) (
)
(
)
24
2
b
a
a
b
f
x
a
x
x b dx















2
2
2
5
(4)
(4)
4
1
(
)
(
)
( )
( )
24
2
2
4
180 2
b
a
a
b
a
b
b
a
b
a
f
x
x
dx
f









 





 



 



 






Егерде аралық 
[ , ]
a b
теңдей 
n
бөлікке бөлінсе, онда Симпсон формуласы 
үшін қосымша мүшені келесі түрде аламыз: 
5
(4)
4
(
)
( ) (
)
180 (2 )
n
b
a
R
f
a
b
n



 
 

(1.6.3) 
n
өскен сайын бұл өрнек 
4
1
n
шамасымен кеми береді, демек, Симпсон 
формуласы, шынымен де, алдыңғы екі формулаға қарағанда тиімдірек.
1
2
0
1
dx
x


мысалына 
қайтып 
келеміз. 
(1.6.3) 
формулада 
байқап 
отырғанымыздай, төртінші ретті туындыны есептеуден құтылу үшін, біз 
2
1
( )
1
f x
x


функциясы 
y
arctgx

функцясының туындысынан шығатынын 
аңғарамыз, және де дайын формуламен қолдана аламыз.
(4)
(5)
5
5
( )
24cos
sin 5
24cos
cos5
2
f
x
y
y
y
y
y











өрнегі 
абсолют 
шама 
бойынша, 
24-тен 
аспайды, 
сондықтан, 
формулаға 
(1.6.3) 
сәйкес 
2
1
0,0006.
1920
R


Нағыз қателік, біздің қарауымызша, бұл шектен мүлдем аз. 
Е с к е р т у 2.
Осы мысалдан қолданылған формула бойынша шектің 
қателігі күмән келтіріп тұрғандығы көзге түседі. Өкінішке орай, атап өтілген 
формулалардың кемшілігін байқауға болады, бірақ осындай жағдай негізінде 
сирек кездеседі. 
Дегенмен, қателікті алдын ала бағалауы тек осы формулалар арқылы 
мүмкіндік береді және анықталған интегралдарды жуықтап есептеу арқылы 
жүзеге асады [19]. 

24 
2 Жуықтап есептеулердің квадратуралық формулалары 
2.1 Квадратуралық формулалар
. 
 
 
Анықталған интегралды осы түрге келтіру арқылы шешіп көрейік: 
( )
( )
,
b
a
I f
f x dx b
a



(2.1.1) 
Егерде алғашқы интегралды функция 
( )
F x
белгілі болатын болса, онда 
интеграл келесі түрде Ньютон-Котес формуласы бойынша шығарылады: 
( )
( )
( )
a
b
f x dx
F a
F b



(2.1.2) 
Ал егер алғашқы функциясы болмаса, онда анықталған интегралдың 
жуықтап есептеудегі квадратуралық формула әдісін қолдануға болады: 
( )
( )
k
k
I f
c f x


Қарапайым квадратуралық формулалар да геометриялық мағынамен 
алынады. Геометриялық интерпритация 
( )
I f
- бұл қисықсызықты трапецияның 
ауданы, 
( )
y
f x

, мұнда 
x
a

және 
x
b

, графигінде орналасқан. 
Қисықсызықты трапецияның ауданын тіктөртбұрыштың ауданын 
( )
f a
биіктігімен ауыстырайық.
( )
( )
( )(
)
b
a
I f
f x dx
f a b
a




Қарапайым сол жақ квадратуралық тіктөртбұрыштар формуласын аламыз. 
Керісінше, тікөртбұрыштың ауданын 
( )
f b
биіктігімен, 
( )
( )
( )(
)
b
a
I f
f x dx
f b b
a




Қарапайым оң жақ квадратуралық тіктөртбұрыштар формуласы шығады [20]. 
Биіктік бойынша тіктөртбұрыш құрсақ, функцияның теңдей орта сызығынан 
2
a
b
f







пайда болады. 

25 
( )
( )
(
)
2
b
a
a
b
I f
f x dx
f
b
a











Орта 
тіктөртбұрыштардың 
қарапайым 
квадратуралық 
формуласы. 
Қисықсызықты трапецияны тікбұрышты трапециямен айырбастап, осыған 
келеміз: 
( )
( )
( )
( )
(
)
2
b
a
f a
f b
I f
f x dx
f
b
a











Бұл трапецияның қарапайым квадратуралық формуласы атанады. Біз 
байқаймыз, оң және сол жақ квадратуралық формулалар шығады, егер 
интегралды функцияны константамен алмастырса, яғни 
( )
f a
және 
( )
f b
-мен 
[21]. 
Трапецияның квадратуралық формуласы шығады, егер оның бірінші дәрежелік 
сызықтық интерполяцияның аппроксимациялық көпмүшелігінің интегралды 
функциясымен алмасса. 
Схемаларға қарай отырып, келесі нәтижеге жетеміз: жуықтап есептеудің бір 
тәсілі - интегралдың мәндерін жуықтап отырып, функциясын айырбастау, атап 
өткендей, 
[ , ]
a b
сегментінің түйістерінде құрастырылған интерполяциялық 
көпмүшелікпен жуықтау тәсілін үлгі ретінде алсақ болады. 
Расында, Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін екі түйіс арқылы 
құрастырайық: 
,
x a x b


делік. 
1
( )
( )
( )
( )
x b
x
a
f x
L x
f a
f b
x b
b
a







Интегралды жуықтау арқылы табамыз 


2
1
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
x
b
f a
f b
f a
f x dx
L x dx
x
b dx
x
a dx
a
b
b
a
a
b

















2
( )
( )(
)
( )(
)
2
2
2
b
a
x
a
f b
f a b
a
f b b
a
b
a







Трапецияның квадратуралық формуласы дайын. 
Солай отыра, шығарған есептеулермен интегралды функцияның 
интерполяциялық 
көпмүшелігі 
арқылы 
алуан 
түрлі 
квадратуралық 
формулаларды (КФ) құруға болады. 

26 
0
0,
( )
( )
( )
b
b
b
n
n
i
n
k
k
i
i k
k
i
a
a
a
x
x
f x dx
L x dx
f x
dx
x
x

 









Осындай жағдаятты қарастырайық: 
2
n

боларда, 
( )
f x
функциясы 
интерполяциялық көпмүшелікпен алмастырғанда, осындай үш түйіс құраймыз: 
0
1
2
0
1
2
2
( )
( ) ( )
( )
( )
2
a
b
x
a
x
x
b
a
b
f x
f a
f x
f
f x
f b














2
(
)
(
)(
)
2
( )
( )
2
(
)
2
2
2
a
b
x
x
b
a
b
x
a x
b
L x
f a
f
a
b
a
b
a
b
a
a
b
a
b













































2
2
2
(
)
4
2 ( ) 2 ( )
2
2
( )
(
)(
)
(
) (
)
(
)
2
a
b
a
b
x
a
x
f
f a
f a
f b
x
a x
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b




















 














2
2 ( )
(
)
2
f b
a
b
x
a
x
b
a











Интерполяцияланған көпмүшелікті интегралдаймыз да, жай қарапайым 
Симпсонның КФ аламыз. 
2
2
2
4
2 ( )
2
( )
( )
(
)
(
)(
)
(
)
2
(
)
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
f
f a
a
b
f x dx
L x dx
x
x
b dx
x
a x
b dx
a
b
b
a




























2
2 ( )
(
)
(
)
2
b
a
f b
a
b
x
x
a dx
b
a













1 мен 2 группасы:
3
1
(
)
(
)
2
12
b
a
a
b
x
x b dx
b
a












3 пен 4 группасы: 

27 
3
3
2
(
)(
)
(
)
1
3
b
b
b
b
a
a
a
a
b
a
x
a x b dx
x dx
a
b
xdx
ab dx




 







2
2
3
(
)
(
)
(
)
2
6
b
a
a b
a
b
ab b
a


 



5 пен 6 группасы: 
3
3
2
(
)
(
)
1
2
2
2
3
b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
a
b
a
b a
b
a
x
x
a dx
x dx
a
xdx
dx




























2
2
2
2
(3
)(
)
(
) (
)
(4(
)
3(3
)(
)
4
2
12
a
b b
a
a
b a b
a
b
a
b
ab
a
a
b b
a














3
2
2
2
(
)
6(
))
(
2
)
12
12
b
a
b
a
a
ba
b
ab
a








= 
1
4
1
( )(
)
(
)
( )(
)
6
6
2
6
a
b
f a b
a
f
b
a
f b b
a













Симпсонның қарапайым КФ алынды. 
Е с к е р т у 3
. 
(
) 1
b
a


функцияның мәніндегі коэффициенттердің 
суммасы (қосындысы) [22]. 
2.2 Құрама квадратуралық формулалар. 
 
Жуықтап интегралдауды дәлдігімен басқару үшін, құрама квадратуралық 
формулаларды қолдану арқылы іске асырады, қолданылымның нәтижесі 
n
-нан 
тәуелді [23] болып келеді. Ол - бастапқы үзілісті интегралдап бөлінген саны.
0
1
__________________
n
x
x
x
[ , ]
a b
сегментін 
n
бөлікке бөлеміз және ұштарын 
i
x
белгілейміз: 
,
,
0,...
i
b
a
x
a
ih h
i
n
n

 


Əр интеграл үшін 
h
ұзындығындағы кесіндіде жай КФ қолданылады. 
Олардың қосылу нәтижесін құрама квадратуралық формуласы деп атайды. 
Орта тіктөртбұрыштар мен трапециялар формулаларының аясында кесінді 
ұзындығын 
h
арқылы қолдану тиімді. Ал Симпсон жағдайында - 
2
h
[24]. 
Орта тіктөртбұрыштардың құрама квадратуралық формуласы келесі түрде 
жазылады: 

28 
1
2
( )
(
...
)
b
c
c
cn
a
f x dx
h
f
f
f
 

 

мұндағы 
1
,
(
);
,
1, 2,...
2
ci
ci
ci
b
a
h
f
f x
x
a
i
h i
n
n





  





- 
жартылай 
кесінділердегі орта нүктелерінің координаталары. 
3-сурет. 
n
R
қателігі жартылай кесінділер бойынша сумманың қателігін есептеу 
нәтижесі 
3
3
1
1
1
( )
( )
24
24
n
n
n
i
i
i
i
h
h
R
f
n
f
n
















мұнда 
1
i
i
i
x
x


 
. Сәйкесінше, осылай жаза аламыз: 
3
2
(
)
( )
( ),
[ , ]
24
24
n
h
b
a
R
nf
h
f
a b

 






M
- 
[ , ]
a b
кесіндісіндегі 
( )
f x
екінші туындылы функциясының 
максимальді модуль мәні болсын, яғни 
[ , ]
max
( ) ;
x a b
M
f
x



онда 
n
R
өрнегінен 
келесі бағаны аламыз: 
2
(
)
24
n
b
a M
R
h


бұл 
2
(
)
O h
шамасының түгелімен 
[ , ]
a b
кесіндісінде орта тіктөртбұрыш 
формула қателігі бар дегенді білдіреді.
Осындай жағдайда КФ екінші ретті дәлдік бар екендігін айтқысы келеді. 

29 
Е с к е р т у 4.
Тіктөртбұрыштар формуласы орта тіктөртбұрыштар 
формуласына қарағанда түйіннің басқа аймағында орналасу кезінде болуы 
мүмкін. Мысалдан, 
1
1
1
( )
,
( )
i
i
b
b
n
n
x
x
i
i
a
a
f x dx
hf
f x dx
hf









Дегенмен, осындай симметриялық бұзылуынан 
( )
O h
шамасы болады, яғни 
формулалардың дәлдік қатары орта тіктөртбұрыш формуласының дәлдік 
қатарынан бір бірлікке аз [25].
Құрама трапеция КФ келесі түрге ие 
0
1
2
1
( )
...
2
2
b
n
n
a
f
f
f x dx
h
f
f
f




 
 






мұндағы 
(
)
( ),
,
,
0,1, 2,...,
i
i
i
b
a
f
f x
x
a
ih h
i
n
n


 


. 
Сол сияқты, алдыңғы жағдай бойынша 
n
R
құрама трапеция формула 
қателігі үшін өрнек алу керек. 
2
(
)
( ),
[ , ]
12
n
b
a
R
h
f
a b




 

Онда қателікті бағалаудың осы түріне келеміз 
2
[ , ]
(
)
,
max
( )
12
n
x
a b
b
a M
R
h
M
f
x





Солай, трапеция формуласы орта тіктөртбұрыштар формуласы секілді 
2
(
(
))
n
R
O h

екінші қатарлы дәлдікке ие; бұның қателігі шамамен екі есе 
бағаланады [26], орта тіктөртбұрыштар формуласының қателігіне қарағанда. 
Құрама Симпсонның КФ келесі формада жазылады: 
1
0
2
2 1
2
1
1
( )
4
2
3
b
n
n
n
i
i
i
i
a
h
f x dx
f
f
f
f

















мұндағы, 
(
)
( ),
,
,
0,1,2,...,2
2
j
j
j
b
a
f
f x
x
a
jh h
j
n
n


 


. 
Симпсонның құрама формула қателігі келесі түрді қабылдайды 

30 
4
(
)
(
)
( ),
[ , ]
180
IV
n
b
a
R
h
f
a b



 

Осыдан бағалауды аламыз 
4
(
)
[ , ]
(
)
,
max
( )
180
IV
n
x
a b
b
a M
R
h
M
f
x




яғни, Симпсонның құрама формуласы әлдеқайда дәлірек, орта тіктөртбұрыш 
пен трапеция формулаларына қарағанда. Ол 
[ , ]
a b
сегментінде төртінші ретті 
дәлдікке ие - 
2
(
(
))
n
R
O h

. 
Қате өрнегінен орта тіктөртбұрыш пен трапеция формулаларының бірінші 
дәрежелі көпмүшеліктері үшін дәл екені көрініп тұр, яғни сызықтық 
функциялары үшін, ал Симпсон формуласы үшінші дәрежелі көпмүшеліктері 
үшін нақты (қателігі 0-ге тең) [27] болып келеді. 
2.3 Ньютон-Котес формуласы. 
 
Жоғарыда біз үш бір-бірімен ұқсас интегралданатын функцияларды 
қарастырдық: трапеция, тіктөртбұрыштар және Симпсон әдістері. Олардың 
жалпы идеясы былай: интегралданатын кесіндіде функцияның теңдей 
арақашықтықта орналасқан түйіндері Лагранж көпмүшелігімен [28] 
интерполяцияға ұшырайды және оған аналитикалық түрде интеграл мәні 
есептеледі. Бұны біз Ньютон-Котес әдісі деп атаймыз. 
Жуықталған интегралдың осы түрін қарастырайық: 
1
0
( )
I
f x dx


Берілген интегралды қайтадан 
n
бөлікке қақ бөлеміз 
[ , ]
c d
интервалында. 
0
0
,
(
1, 2,3,..., )
i
x
c
x
x
ih
i
n




( )
f x
функциясы мен 
(
0, )
i
x i
n

-ке орнатылған нүктелері бойынша Лагранж 
көпмүшелігін қайта қолданамыз. Енді алмастырайық: 
 
0
( )
( )
( )
(
)
(
) (
)
d
d
d
n
n
n
m
m
m
m
c
c
c
x dx
f x dx
L x dx
f x
x
x
x












жүктеу/скачать 1,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: