Дипломдық ЖҰмыс 6В05401 Математика Білім беру бағдарламасы Карағанды қ

Қосымша-1 
 
 
Мысал-1. 
1
2
3
0
1
x
x dx


анықталған интегралын қарапайым Ньютон-
Лейбниц формуласымен есептеп көрелік: 
3
1
1
1
3
3
2
3
2
2
2
0
0
0
2
1
1
2(1
) (1
)
1
2
1
3
3
3
9
9
0
3
x
t
x
x
dt
t t
x
x dx
x dx
dt
x
t
tdt
x
dt
dx
x

















4 2
2
0, 40631714
9
9

 
Нақты мәнін тапқаннан кейін, жуықтап есептеу әдістеріне тексеруге 
кірісеміз. 
[0;1]
интервалын 
10
n

бөлікке бөлеміз. 
0,
1
a
b


болса, онда 
1 0
0,1
10
b
a
h
n





0
1
1
( )
[ (
)
( ) ...
(
)]
a
n
b
b
a
f x dx
f
f
f
n







 

1
2
( )
[ ( )
(
) ...
(
)]
a
n
b
b
a
f x dx
f
f
f
n






 

Алғашқы тіктөртбұрыш формуласы бойынша келесіні аламыз: 
1
2
3
0
1
9
0
1
0,1(
...
)
0,1 3,062514
0,306251
x
x dx
y
y
y



 




Екінші тіктөртбұрыш формуласы бойынша келесіні аламыз: 
1
2
3
1
2
10
0
1
0,1(
...
)
0,1 4,802669
0, 480267
x
x dx
y
y
y



 




Осы 
жағдайға 
қатысты 
бірінші 
формула 
интегралдың 
мәнін 
жетіспеушілікпен, ал екінші формула артықшылықпен беріп тұрғанын 
байқаймыз. 

54 
Салыстырмалы және абсолютті қателікті есептелік. 
1
2
0,40631714,
0,306251,
0,480267
т
т
I
I
I



1
2
0,1001, =
100%
25%
0,1001, =
100% 18%
т
т
I
I
I
I
I
I



  




  



Енді трапеция әдісімен салыстырайық: 
0
1
2
1
(
)
(
)
( )
( )
(
) ...
(
)
2
a
n
n
b
f
f
b
a
f x dx
f
f
f
n







 




 





Біздің жағдайымызда осыған ие боламыз: 
1
2
3
0
10
1
2
10 1
0
(
)
(
)
1
0,1
( )
(
) ...
(
)
2
f
f
x
x dx
f
f
f













 






0 1, 414214
0,1
0, 010005 0, 04016 ... 1, 065081
0,1 4, 095562
0, 409556
2






 







Қателігі келесідей болады: 
0,40631714,
0,409556
тр
I
I


0,003239, =
100%
0,8%
тр
I
I
I


  



Симпсон әдісіне салып көрелік. Мұндағы, 
2
n
m

0
2
2
4
2
2
( )
[ (
)
(
)
2( (
)
(
) ...
(
))
6
a
m
m
b
b
a
f x dx
f
f
f
f
f
m











 


1
3
2
1
4( ( )
( )
...
(
))]
m
f
f
f





 
Аламыз: 
1
2
3
0
10
2
4
6
8
0
0,1
1
[ ( )
(
)
2( ( )
( )
( )
( ))
3
x
x d x
f
f
f
f
f
f















1
3
5
7
9
0,1
4( ( )
( )
( )
( )
( ))]
[0 1,414214
2(0,04016
3
f
f
f
f
f















55 
0,165041 0,396981 0,786966)
4(0,010005 0,091207
0,265165







0,567851 1,065081)]
0,406325



Қателік: 
0, 40631714,
0, 406325
С
I
I


6
7,9 10 , =
100%
0,002%
С
I
I
I



  




Шынымен де, 
1
2
3
0
1
0, 40631714
x
x d x



. 
Солай келе, [0,1] интервалын Симпсон формуласы бойынша 10 бөлікке 
бөліктегенде біз 5 ақиқат таңба аламыз; трапеция формуласы бойынша - 3 
ақиқат таңба; тіктөртбұрыш формуласы бойынша бірінші таңба үшін ғана 
кепілдік бере аламыз.

56 
Қосымша-2 
 
 
Мысал-2.
4
n

үшін 
1
0
xdx

анықталған интегралын Симпсон, тіктөртбұрыш 
пен трапецияның квадратуралық формуласы арқылы мәнін табайық. 
3
1
2
0
1
0,(6)
3 0
2
x
xdx



4
n

деп алып, аралық интегралдауын 4 бөлікке бөліп, сәйкесінше 
белгілейміз: 
0
1
2
3
4
1 0
1
2
3
,
0,
,
,
,
1
4
4
4
4
b
a
h
x
x
x
x
x
n









Тіктөртбұрыштың құрама квадратуралық формуласы бойынша: 
1
0
1
1
2
2
3
3
4
0
(
)
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
xdx
h f
f







 
 









 
 




 
 


1
1
3
5
7
1
1
3
5
7
0,6730
4
8
8
8
8
4
8
8
8
8
f
f
f
f




 
 
 
 











 
 
 
 


 
 
 
 




Трапецияның құрама квадратуралық формуласы бойынша: 
1
0
4
1
2
3
0
[ ( )
(
)]
[ ( )
(
)
( )]
2
h
xdx
f x
f x
h f x
f x
f x









1
1
1
2
3
0
1
0,6432
8
4
4
4
4












Симпсонның құрама квадратуралық формуласы бойынша:
1
0
1
2
3
4
0
[ ( )
4 ( )
2 (
)
4 ( )
(
)]
3
h
xdx
f x
f x
f x
f x
f x







1
1
2
3
0
4
2
4
1
0,6565
12
4
4
4













57 
Қосымша-3 
Мысал-3. 
2
1
0
x
e dx

интегралының Гаусс квадратуралық формуласының 
1
n

үшін үш түйіні арқылы, яғни [0,1] интервалында бөліктемей тауып, 
қателігін есептеу. 
Туындыларын табайық: 
2
( )
2
x
f x
xe


, 
2
2
( )
2
(1 2 )
x
f
x
xe
x



, 
2
2
( )
4
(3 2 )
x
f
x
xe
x



2
(4)
2
4
( )
4
(3 12
4 )
x
f
x
xe
x
x



, 
2
(5)
3
5
( )
8
(15 20
4 )
x
f
x
xe
x
x



4
(6)
2
4
6
( ) 8
(15 90
60
8 )
x
f
x
xe
x
x
x




(6)
0
1
max
( )
1384
x
f
x
e
 


(6)
6
1384
( )
max
( )
0,0019
2016000
2016000
a x b
b
a
e
R h
f
x
h
 







Осыны аламыз: 
2
1
1
2
3
0
1
(
( )
(
)
( )) 1, 46241
18
x
e dx
Sf x
Sf x
Sf x





Мұнда 
2
2
0,5, f(x )=1,284025
x

1
2
1
3
2
3
3
0,112702 ( ) 1,012783
2
5
3
0,887298 ( )
2,19745
2
5
h
x
x
f x
h
x
x
f x

 



 



58 
Қосымша-4 
 
 
Мысал-4. 
2
0
sin
xdx


анықталған интегралын 
5
n

үшін Чебышев әдісімен 
есептеу. Мұндағы, 
0,
2
a
b



. Төмендегі формуланы қолданамыз: 
1
( )
n
i
i
b
a
I
f x
n




2
2
i
i
b
a
b a
x
t





,
i
i
x y
мәндерін анықтап аламыз: 
1
1
2
2
3
3
4
2
5
1
1
1
2
2
( 0,832498)
0,131489
4
4
4
4
( 0,374341)
0, 490985
4
4
4
4
0
0,785
4
4
4
1
1 0, 490985
0,509015
1
1 0,131489
0,868511
sin( )
sin(0,131489)
0,131118
sin( )
sin(0, 490
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
y
x
y
x
 
 
 
 
 

 
 


 
 


 
  
 
 

   






3
3
4
4
5
5
985)
0, 471494
sin( )
sin(0,785)
0,706825
sin( )
sin(0,509015)
0, 487317
sin( )
sin(0,868511)
0,763367
y
x
y
x
y
x










Осы түрге келтіреміз: 
5
1
( )
10
i
i
I
f x




(0,13118 0,471494 0,706825 0,487317
0,763367)
2,560121
10
10
Ч
I










0,8038779

 

59 
Қосымша-5 
 
 
Кесте-1. Гаусстың квадратуралық формуласы бойынша түйін нүктелердің 
координаталары мен салмақтық коэффициенттері 
Түйін саны 
n
Түйін нүктенің 
нөмірі 
i
Бұрыштық нүкте 
координатасы 
i
x
Салмақтық 
коэффициент 
i
q
1 
1 
0 
2 
2 
1 
2 
1
2
x
x
 
0,5773502692
1 
1 
3 
1 
2 
3 
1
3
x
x
 
0 
0,7745966692 
1 
0,8888888889 
0,5555555556 
4 
1 
2 
3 
4 
1
4
x
x
 
2
3
x
x
 
0,3399810436 
0,8611363116 
1
4
q
q

2
3
q
q

0,6521451549 
0,3478548451 
5 
1 
2 
3 
4 
5 
1
5
x
x
 
2
4
x
x
 
0 
0,5384693101 
0,9061798459 
1
5
q
q

2
3
q
q

0,5688888889 
0,4786286705 
0,2369268851 
9-сурет. Лежандра көпмүшелігінің графигі 

60 
Қосымша-6 
 
 
 
 
10-сурет. Трапеция және тіктөртбұрыш тәсілдерін n бөлікке бөлу нұсқасы