Дипломная работа
Оценка коэффициентов Фурье
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пространство функций со скалярным произведением.
| Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)
Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ(s)(x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству: │ ƒ(s)(x)│≤ Ms; (5) тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству (6) Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что ƒ(-π) = ƒ(π), имеем Поэтому Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ΄, …, ƒ(s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6). Вторая оценка (6) получается подобным образом. Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство (8) Доказательство. Имеем (9) Вводя в данном случае замену переменной и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим Складывая (9) и (10), получаем Отсюда Аналогичным образом проводим доказательство для bk. Следствие. Если функция ƒ(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak → 0, bk → 0, k → ∞. Пространство функций со скалярным произведением. Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции. Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a, b] (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл (11) Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b] функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства: (ƒ , φ ) =( φ, ƒ ); (ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x) =0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек x; (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β ( φ , ψ), где α, β – произвольные действительные числа. Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать, и называть пространством Замечание 1. В математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми. Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ , φ ) | ≤ (ƒ , ƒ )½ (φ , φ ) ½, которое на языке интегралов выглядит так: Величина называется нормой функции f. Норма обладает следующими свойствами: || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек; || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||; || α ƒ || = | α | · || ƒ ||, где α – действительное число. Второе свойство на языке интегралов выглядит так: и называется неравенством Минковского. Говорят, что последовательность функций { fn }, принадлежит к ,сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если Отметим, что если последовательность функций ƒn (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒn (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b]. В случае же, если ƒn (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n. Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒn (x) (n = 1, 2,…), причем жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|