Дипломная работа
(Бугров, стр. 281, рис. 120
жүктеу/скачать 152,04 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.1. Интегралы от периодических функций.
| (Бугров, стр. 281, рис. 120)
При любом натуральном n и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1]. Из элементов некоторой последовательности функций ƒ1, ƒ2, ƒ3,… (принадлежащих ) построим ряд ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +… (12) Сумма первых его n членов σ n = ƒ1 + ƒ2 + … + ƒn есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что || ƒ- σn || → 0 (n → ∞), то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +… Замечание 2. Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i φ2(х) определяется следующим образом: а норма ƒ определяется как величина 2.1. Интегралы от периодических функций. Пусть ƒ(x) – периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0' . 2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций. Укажем значения некоторых интегралов: (k = 1,2,…), (13) (k =1,2,..; m =1,2,…), (14) (15) (k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m), (k =1,2,…) (16) Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим: (17) (18) Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x). В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье. Обратим внимание, что постоянная в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18). Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде: ƒ(x) ~ , (19) про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции. Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье. жүктеу/скачать 152,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|