Еуразия технологиялық университетінің Хабаршысы. 2021. №2

Еуразия технологиялық университетінің Хабаршысы. 2021. №2 
79 
Анықтама. 
– толығымен үзіліссіз оператор болсын, сонда 
толығымен үзіліссіз оператор. операторының меншікті мәндері А операторының 
s -сандары деп аталады. [2] 
Нөлдік емес s -сандар олардың еселіктерін ескере отырып, кему ретімен 
нөмірленеді 
Теорема 1. Айталық, шарты орындалсын. Онда келесі бағалау орынды 
болады
(5) 
мұндағы
және
тұрақты сандар, 
,
-
операторының 
сингулярлы сандары 
( -сандары) (Шмидт бойынша меншікті мәндер). 
Бұл теореманы дәлелдеу үшін бізге келесі көмекші тұжырымдар керек болады.
1-теореманы дәлеледеу үшін келесі үшінші ретті дифференциалдық 
оператордың қасиеттеріне байланысты жиындар енгіземіз.
Мына жиынды қарастыралық:
, 
, 
, 
мұндағы 
және 
. 
Енді төмендегі леммаларды дәлеледейміз. 
Лемма 1. Айталық шарты орындалсын. Онда
тұрақтысы мына 
қосылым орындалатындай бар болады 
. 
Дәлелдеуі. Айталық 
болсын. Енді, жоғарыдағы шартты ескере 
отырып, келесі теңсіздікті аламыз: 
, 
мұндағы 
А
(
)
2
1
* А
А
Н
=
Н
( )
(
)
(
)
,...
3
,
2
,
1
,
*
2
1
=
=
k
A
A
A
s
k
k

)
i
,...
3
,
2
,
1
,
1
1
2
1
2
2
3
2
=


k
k
C
s
k
С
k
1
С
2
С
2
1
0
C
C 

k
s
1
−
L
1
−
L
s
( )
( )


1
:
2
2
2

+


=


L
L
u
Lu
L
u
M
 
(
)
(
)
( )
(
)


1
1
2
,
2
2
,
2
2
2
2
1
:
,
,
1
,
0
~
−




+
+
−

=
C
u
u
u
L
C
u
M
y
L
x
C


( )
(
)







+
+
+
+
+
+


=
−1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
:
1
C
u
u
u
u
u
u
u
L
u
M
y
yy
yyy
x
xx
xxx
C
0
1

C
1
1
1

−
C
)
i
1
1

C
1
1
1
~
0
С
С
М
М
М


−
( )
1
1
0
,
−

C
M
y
x
u
(
)
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
,
2
C
C
u
u
u
u
u
u
u
C
u
Lu
y
yy
yyy
x
xx
xxx
−



+
+
+
+
+
+

+

Еуразия технологиялық университетінің Хабаршысы. 2021. №2 
80 
. 
Енді 
тең деп ала отырып, 
шартын аламыз. 
Айталық 
болсын. Онда, 1-теореманың нәтижелерін қолдана отырып, 
төмендегі теңсіздікті аламыз
. 
Соңғы теңсіздіктен мына 
қосылым ақиқат екендігін аламыз. 
Енді, 
болатындай 
константасын алсақ, 1-лемманың дәлелдеуін 
аламыз. 
Лемма 1 толықтай дәлелденді. 
Лемма 2. Айталық 
шарты орындалсын. Онда Колмогоров бойынша 
көлденеңдер үшін келесі бағалаулар орынды болады: 
, (6) 
мұндағы 
- тұрақты сандар, 
- белгілеулері
жиындарына сәйкес көлденеңдер. 
Бұл лемманы дәлелдеу үшін, біз Колмогоров бойынша көлденеңдер 
жиынының анықтамасы мен қасиеттерін еске салайық. 
Анықтама. Айталық, 
-централды-симметрикалық 
(
- гильберттік 
кеңістік) кеңістігінің ішкі жиыны, яғни, 
. 
өлшемі - М кеңістігінің Колмогоров бойынша көлденеңдер жиыны, мұндағы 
- өлшемді ішкі жиын. 
Бұл көлденеңдер келесідей қызықты қасиеттерге ие: 
1) 
, 
2) 
мұндағы 
- 
жиынының көлденеңдері, 
- М жиынының 
көлденеңдері 
 
( )
( ) ( )


y
c
y
a
y
k
C
y
,
,
max
1
,
0
2

=
2
1
C
С
=
М
М
С

−1
0
M
u 
(
)
C
u
Lu
C
u
u
u
y
x

+

+
+





2
,
2
2
,
2
2
,
2
2
,
2
,
2
С
М
М
~

C
С

1
1
С
)
i
( )
,...
2
,
1
,
~
0
1
=


−
k
d
C
M
d
d
С
k
k
k
0

C
,
~
,
,
0
k
k
k
d
d
d
С
С
М
М
М
~
,
,
1
0
−
М
H
H
M
М
−
=
 
,...
2
,
1
,
0
inf
sup
2
=
−
=


k
v
u
nf
i
d
k
k
y
v
M
u
y
k
k
y
k
...
2
1
0



d
d
d
( )
( )
,...,
2
,
1
,
~
,
~
=


k
M
M
M
d
M
d
k
k
( )
M
d
k
~
М
~
( )
M
d
k

Еуразия технологиялық университетінің Хабаршысы. 2021. №2 
81 
3) 
. 
Енді, дәлелденіп жатқан 2 лемма 1 лемма мен көлденеңдер қасиеттерінен 
шығады. [3] 
Келесі функцияларды енгізелік, 
,
,
, 
бұл функциялар 
жиындарының Колмогоров бойынша көлденеңдер 
санына сәйкес келеді , яғни 
шарты үшін 
, 
және 
болады.
Әрі қарай, 6-лемманы қолдана отырып, (6- бағалуымен қоса) келесі теңсіздікті 
аламыз
. 
1- теореманың дәлелдеуі бойынша келесі бағалауларды аламыз: 
(7) 
(8) 
Айталық, 
болсын, онда 
аламыз. Бұдан, (7) және (8) қолдана 
отырып, мына теңсіздікті аламыз 
,
. 
Енді осы жерден (6) бағалауы мен 
ескере отырып,
. 
 
s сандарының бағалануын аламыз.
1- теорема толықтай дәлелденді. 
 
ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
1. Муратбеков М.Б. Разделимость, оценки сингулярных чисел (s-чисел) 
линейного и нелинейного оператора смешанного типа // Тезисы докладов научной 
конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных 
уравнений" - Алма - Ата, 1991 - 130 б. 
2. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с 
дифференциальными уравнениями второго порядка. М. :ИЛ, 1961, т. 1, 2. 278 б. 
( )
( )


M
x
nx
x
nM
n
M
nd
nM
d
k
k

=

=

=
,
,
0
,
( )


=


k
d
N
1
( )


=


k
d
N
~
1
~
( )


=


k
d
N
0
1
0
0
,
~
,
М
М
М
0


( )
М
d
k
k
d
~
k
d
0
( )
( )
(
)



1
0
~
−


C
N
N
С
N
( )
2
0
2
1
0
~
−
−
−





С
N
С
( )
3
2
0
0
3
2
1
0
−
−
−





C
N
С
k
d
~
=

( )
k
d
N
k
=
~
~
2
1
0
2
1
1
0
1
~
1
k
C
d
k
С
k


−
2
3
0
0
2
3
1
0
1
1
k
C
d
k
С
k


−
( )
k
k
d
L
S
=
−
+
1
1
2
1
2
2
3
1
s
k
C
k
C
k



жүктеу/скачать 1,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: