Әдістемелік жинақ

Бұл мәндерді кестенің b_1j жолына жазамыз.

78

;

(3.7) - формуланы қолданамыз:

Бұл сандарды кестенің b_2j жолына жазамыз.

Осы арада тура жол аяқталады, матрица үшбұрышты түрге келеді.

b_1j, b_2j және кестенің ең соңғы жолында орналасқан элементтерді қолданып жүйе құрамыз:

Бұл жүйеден х₃=-2,2779; х₂=-2,9636; х₁=-0,6583 екендігі шығады.

2- кесте . (3.14) - есептің кестелік алгоритмі.

1. 
   Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің неше тәсілі бар?
   
2. 
   Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?
   
3. 
   Жордан – Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?
   
4. 
   Жордан – Гаусс әдісінің тура әдісі қалай жүзеге асады?
   

79

Тақырыбы: Жәй итерация және Зейдель әдісімен теңдеулер жиының сандық шешімін табу

Қарапайым итерация, Зейдель әдісін қолданып төмендегі жүйелерді шешіңіздер. Е=10^-4.

№3 №4

№5 № 6

№ 7 № 8

№ 9 № 10

-7х₁+4х₂ - 4х₃=-8

2х₁ - 6х₂ - х₃=-5

-2х₁ - х₂ +6х₃=3

Бұл жүйе матрицасында диагональдық басымдылық бар. (3.39) – (3.41) – шарттардың орындалуын ұйымдастыру керек. Ол үшін жүйенің матрицасын және бос мүшелер векторын

80

матрицасына көбейтейік:

Бұл жүйе үшін жинақтылық шарттар орындалады. Сондықтан жүйені итерациялық түрде жазамыз:

Итерацияның бастапқы жуықтаулары ретінде бос мүшелерін алайық: . Келесі жуықтаулар мына формуламен есептеледі:

Мұндағы теңдеулерді қолдануға оңай болуы үшін рим цифрларымен белгіледік. Диагональдық басымдылықты алу үшін (I) – теңдеудің орнына (II) – теңдеуді, ал 2-ші теңдеу етіп (I+II) – теңдеуін жазамыз, (III) – теңдеудің орнына (I ) теңдеуді жазамыз:

Бұл жүйеде диагональдық басымдылық бар. Сондықтан итерациялық түрге келтіру үшін жүйенің әр теңдеуін мүшелеп диагональдық элементіне бөлеміз де коэффициенті 1-ге тең белгісіздер арқылы өрнектейміз:

Жинақтылығын зерттейміз:

жинақтылық шарты бұл кеңістікте орындалмайды екен.

жинақтылық шарты орындалды.

81

3-ші метрикалық кеңістікте:

Жинақтылық шарты орындалатыны байқалды, яғни бастапқы жуықтаулар ретінде бос мүшелерді алып итерациялық процесс құрамыз:

k=0,1,2,…

Берілген жүйе үшін матрицасын, транспонирленген матрицасын құрып, жоғарыда айтылған әрекеттерді орындаймыз:

Сонымен анықталған матрица бойынша қалыпты жүйе құраймыз:

Итерациялық түрге келтіреміз:

Бұл жүйе үшін (3.48)– (3.50)– жинақтылық шарттары орынды. Ендеше бастапқы жуықтау таңдаймыз: х₁=1, х₂=1, х₃=1.

Зейдель процесі келесідей жазылады:

Есептеу , i=0,1,2,… шарты орындалғанға дейін жалғасады.

1. 
   Қарапайым итерация әдісі қалай жүзеге асады?
   
2. 
   Квадрат түбірлер әдісі қалай жүзеге асады?
   
3. 
   Сызықтық алгебралық теңдеудің жазылу формасын келтіріңіз?
   
4. 
   Сызықтық алгебралық теңдеулерді шешудің қандай тәсілдерін білесіз?
   

Жордан-Гаусс, ортогоналбдау әдістерін қолданып төмендегі жүйелерді шешу.

№3 №4

№5 №6

№ 7 №8

№ 9 №10

Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.

83

1. Тура жол алгоритмі

9. 
   (3.15) – жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
   
10. 
    элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
    

11. 
    Барлық мәндері үшін (3.16)
    

12. 
    Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
    

Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге

айналады.

13. 
    q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М₁ матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
    
14. 
    М₁ матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М₂ матрицасын аламыз.
    
15. 
    Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
    
16. 
    Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.