Әдістемелік жинақ
жүктеу/скачать 2,2 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Тақырыбы
- Тапсырманы орындауға әдістемелік нұсқаулар: Гаусс әдісі.
- 1. Тура жол
- 2. Кері жол
- 1-мысал: (3.14) 1. Тура жол.
| Бақылау сұрақтары:
Итерацияның қарапайым әдісі қалай жүзеге асады? Жүйе итерациялық түрге қалай келтіріледі? Теңдеулер жүйесін шешуде Ньютон әдісі қалай жүзеге асады? Сызықтық емес теңдеулер жүйесінің жазылуын көрсетіңіз? 74 Тақырыбы: Гаустың белгісізді біртіндеп жою әдісімен теңдеулер жиының сандық шешімін табу Мақсаты: Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістерімен танысу және есептер шығару. Тапсырма: Гаусс әдісін қолданып төмендегі жүйелерді шешу. №1 №2 №3 №4 №5 №6 № 7 №8 № 9 №10
Тапсырманы орындауға әдістемелік нұсқаулар: Гаусс әдісі. (3.3) 75 (3.3) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл – тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл – кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады: тура жол – матрицаны үшбұрышты түрге келтіру. кері жол – белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу. Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады. Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты. 1. Тура жол: басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (3.3)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз: (3.4.) мұндағы , (3.5) (3.4) - теңдеуді қолданып (3.3) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х1 белгісізін жоюға болады. Ол үшін (3.4)-ші теңдеуді а21, а31, ..., аn1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып aij1 деп белгілейміз:
Сонда келесідей жүйе аламыз: (3.7) Алынған (3.7) - жүйенің 1-ші теңдеуін а221 элементіне бөліп, теңдеу аламыз: (3.8) мұндағы , (3.9) х1 белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х2 белгісізін (3.7) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:
мұндағы
(3.11) (3.10) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп 76
теңдеу аламыз. Мұндағы , (3.12) (3.11) - теңдеу көмегімен (3.10) - жүйеден х3 белгісізін жоямыз. Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (3.4)-ші, (3.8)-ші, (3.11)-ші, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз: (3.13) 2. Кері жол: (3.13) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 –ші теңдеуге қою арқылы xn-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады. Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады. Практикада есептеу жеңіл болуы үшін Гаусс компактілі схемасын толтырады (1-кесте ), мысал үшін 4 белгісізді жүйе қарастырылды. 1-мысал: (3.14) 1. Тура жол. Есептеу процесінің қалай өрбитінін бақылау үшін кесте толтырған дұрыс (2-кестені қараңыз). Кестенің I - бөлігіне жүйенің кеңейтілген матрицасын толтырамыз. Кестенің соңғы екі бағаны ∑, S – есептеу қателігін бақылауды ұйымдастырады. I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндер матрицаның әр жолындағы элементтердің қосындысы ретінде табылады . b1j жолының бақылаушы бағанындағы элементтер I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндерді басшы элементке бөлу арқылы табылады . II – бөліктің бақылаушы бағанындағы мәндер I – бөліктің ең соңғы бақылаушы бағанындағы мәндерге (3.6) - формуланы қолдану арқылы анықталады . Дәл осылай бақылаушы бағанның қалған екі жолын да толтыруға болады: , төменде көрсетілген , формулалары арқылы. ∑, S – бағандарындағы мәндер бір - бірінен өте аз ауытқуы немесе тұтас беттесуі керек. Сонда есеп дұрыс жүргізілген болады. (3.5) - формуланы қолданамыз: 77 1-кесте . Гаусстың компактілі схемасы.
жүктеу/скачать 2,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|