Әдістемелік жинақ



бет38/40
Дата06.01.2022
өлшемі2,2 Mb.
#16295
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   40
2. Кері жол алгоритмі

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.



сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.

Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.

2-мысал:

(3.18)

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 3- кестеге толтыруға болады:

3- кесте . (3.18) – есептің кестелік алгоритмі.


Бөліктер

I

mi

X1

X2

X3

X4

Ai5

I

1

2

3



4

0.11759

0.14766


0.17923

1.1161

0.1582


0.1968

0.2368


0.1254

1.1675


0.2071

0.2471


0.1397

0.1768


1.2168

0.2568


0.1490

0.1871


0.2271

1.2671


1.5471

1.6471


1.7471

1.8471


II

1

2

3



0.09353

0.11862


1.08825

0.12323


0.15436

0.09634

1.13101


0.16281

0.10950

0.13888


1.177077




1.32990

1.37436


1.41604

III

1

2


0.07296

1.07381

0.10492


0.08111

1.11170








1.19746

1.20639

IV

1




1.06616











1.10944


84

1. Тура жол

а44=1,2671 басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады.



  1. (3.16) - формула көмегімен mi, i=1,2,3 мәндерін анықтаймыз:



  1. (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді табамыз:

i=1; j=1 болғанда

i=1; j=2 болғанда



i=1; j=3 болғанда



i=1; j=4 болғанда



i=1; j=5 болғанда



i=2; j=1 болғанда



i=2; j=2 болғанда



i=2; j=3 болғанда



i=2; j=4 болғанда



i=2; j=5 болғанда



i=3; j=1 болғанда



i=3; j=2 болғанда



i=3; j=3 болғанда



i=3; j=4 болғанда



i=3; j=5 болғанда



Табылған элементтерден жаңа матрица құрып кестенің II-бөлігіне толтырамыз.



  1. Жаңа матрицадан модулі бойынша үлкен элементті табамыз: ол - . 3-жолды басшы жол деп аламыз да жаңа көбейткіштерді анықтаймыз:

85



  1. 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:



  1. Осы жаңа матрицадан модулі бойынша үлкені . Тағы көбейткішті есептейміз: .

  2. 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:

;

2. Кері жол

Кесте да қоршалған басшы элементтер орналасқан жолдардан жүйе құрамыз:



Белгісіздерді біртіндеп табамыз:

X1=1.04059

X2=0.98697

X3=0.93505

X4=0.88130.



Квадрат түбірлер әдісі.

(3.19)

Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.

A=S*DS (3.20)

мұндағы S*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .



86

SS*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.



ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:





(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:



(3.21*)

(3.22*)
(3.23*)

(3. 24*)

(3.25*)

Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:



(3.26)

(3.27)

(3.28)

87

(3.29)



(3.30)

Практикада бұл әдіс мына 4-кестені толтырады.


4-кесте . Квадрат түбірлер әдісінің схемасы.


i

x1

x2

x3

bi

1

A11

a12

a13

b1

2

A21

a22

a23

b2

3

A31

a32

a33

b3




У1

У2

У3

bi

1

11

0

0

b1

2

12

22

0

b2

3

13

23

33

b3




x1

x2

x3

yi

1

S11

S21

S31

y1

2

0

S22

S32

y2

3

0

0

S33

y3



немесе матрицалық –векторлық түрде:

.

Ал үшбұрышты түрге келтірілген жүйенің белгісіздері қарапайым табылады.



1-мысал

e=0.5*10-3

Жүйе симметриялы элементтерден тұрады, яғни квадрат түрбірлер әдісін қолдануға болады:

(3.21*) - формула бойынша:



(3.22*)-формула бойынша :


88

(3.23*) - формула бойынша: j=2,3 формуласы бойынша диагональдық элементтерді табамыз:



s23 элементі әлі табылған жоқ, сондықтан мына формуланы қолданып тауып аламыз:



(3.24*) - формула бойынша:

. Енді (3.21*) - формуламен s33-ті табуға болады:

Енді (3.21*) - формуламен қалған элементтерді табамыз:



2 деп белгілейміз

= у3 деп белгілейміз

Енді элементтерден S үшбұрышты матрица құраймыз:





Бұдан .


Бақылау сұрақтары:

  1. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің неше тәсілі бар?

  2. Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?

  3. Жордан – Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?

  4. Жордан – Гаусс әдісінің тура әдісі қалай жүзеге асады?

89

Тақырыбы: Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнмен интерполяциялау



Мақсаты: Функцияны интерполяциялау есептерін шығаруды үйрену

Тапсырма:

  1. Функцияның мәндер кестесі берілген:

Х

1,50

1,54

1,56

1,60

1,63

1,70

У

3,873

3,924

3,950

4,000

4,037

4,123

Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін анықтау:

a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.



  1. Функцияның мәндер кестесі берілген:

Х

2,0

2,3

2,5

3,0

3,5

3,8

4,0

У

5,848

6,127

6,300

6,694

7,047

7,243

7,368

Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін анықтау:

a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.

3. sin(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/12 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

4. Cos(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x=/5 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

5. Эйткен схемасын бойынша кестеде берілген функция мәндерін қолданып, берілген нүктелердегі функция мәндерін есептеу:

a) y(27).



Х

14

17

31

35

У

68,7

64,0

44,0

39,1

b) Y(102).



Х

93.0

96.2

100.0

104.2

108.7

У

11.38

12.80

14.70

17.07

19.91

c) Y(5).

Х

0

2

3

6

7

9

У

658 503

704 969

729 000

804 357

830 584

884 736

4.Кесте түрінде берілген функция үшін Эйткен схемасын қолданып 10-5 дәрежесі дәлдікке дейін х-тің берілген мәндеріндегі функция мәндерін анықтау:



Х

1,00

1,08

1,13

1,20

1,27

1,31

1,38

У

1,17520

1,30254

1,38631

1,50946

1,21730

1,22361

1,23470

a) 1,134 b) 1,139 c) 1,143 d) 1,151 e) 1,166 f) 1,175 g) 1,182 i) 1,197

k) 1,185 l) 1,192 m) 1,195.

6. Функцияның берілген кестелік мәндер бойынша берілген функция мәніне сәйкес аргумент мәнін анықтау:

a) y=0


Х

1

2

2,5

3

У

-6

-1

5,625

16

b) y=20

X

4

6

8

10

Y

11

27

50

83

c) y=2.00139; y=2.00194; y=2.00373; y=2.00484

X

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

Y

2.00000

2.00238

2.00909

2.01957

2.03313

2.05000




  1. y=ex функциясының мәндері кестемен берілген. Сызықты интерполяциялау формуласын қолданып функцияның берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.

90

x

0.50

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.60

ex

1.6487

1.6653

1.6820

1.6989

1.7160

1.7333

1.7507

1.7683

1.7860

1.8040

1.8221


  1. 0,507; b) 0,512; c) 0,523; d) 0,535; e) 0,541;

f) 0,556; i) 0,568; j) 0,571; k) 0,589; l) 0,594.




  1. y=sin(x) функциясының мәндері берілген. Ньютонның сәйкес формуласын қолдану арқылы берілген нүктелердегі мәндерді және қателіктерін анықтау.

X

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

Sin(x)

0.89121

0.93204

0.96356

0.98545

0.99749

0.999957

0.99166




1.8

1.9

2.0

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

0.97385

0.94630

0.90930

0.86321

0.80850

0.74571

0.67546

0.59847


  1. 1,151; b)1,218; c)1,345; d)1,421; e)1,538; f)1,609; i)1,732; j) 1,849;

k) 1,929; l) 2,031; m) 2,173; n) 2,218; o) 2,313; p) 2,437; r) 2,478.




  1. f(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

X

1.50

1.51

1.52

1.53

1.54

1.55

1.56

1.57

1.58

1.59

1.60

F(x)

0.51183

0.50624

0.50064

0.49503

0.48940

0.48376

0.47811

0.47245

0.46678

0.46110

0.45540


  1. 1.50911; b) 1.50820; c) 1.50253; d) 1.50192; e) 1.59513; f) 1.59575; i) 1.59614; j) 1.59728.


  1. g(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

x

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

g(x)

0.5652

0.6375

0.7147

0.7973

0.8861

0.9817

1.0848

1.1964

1.3172

1.4482

1.5906


  1. 1.113; b) 1.219; c) 1.321; d) 1.428; e) 1.9592; f) 1.9675; i) 1.9728; j) 1.9819.


  1. h(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.


  1. 0.01928; b) 0.01392; c) 0.02713; d) 0.47113; e) 0.47531; f) 0.48398; k) 0.48675



x

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

h(x)

0.28081

0.31270

0.34549

0.37904

0.41318

0.44774

0.48255

0.51745

0.55226

0.58682

0.62096




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   32   33   34   35   36   37   38   39   40




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет