-ДӘРІС. Кәдімгі дифференциалдық теңдеулердің (КДТ) сандық әдістері

1. 
   КДТ-ның шешімі.
   
2. 
   Шешімнің бастапқы деректермен оң жағына ұзіліссіз тәуелсіздігі.
   
3. 
   КДТ үшін Эйлер схемасы.
   
4. 
   Аппроксимация реті, жинақталуы.
   
5. 
   КДТ үшін Рунге-Кутта әдісі.
   
6. 
   Көп қадамды әдістер.
   
7. 
   Қос қадамды, төртқадамды Адамс әдістері.
   

1-ретті ќарапайым дифференциалдыќ теңдеу (ЌДТ) жалпы түрде келесідей жазылады:

Бұл теңдеуге ќатысты негізгі есеп Коши есебі деп аталады: (1)-теңдеудің

y(x₀) = y₀ (2)

бастапќы шартты ќанағаттандыратын

y=y(x) (3)

түріндегі шешімін табу.

Басќа сөзбен айтќанда координаттары M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін (3) - интегралдыќ ќисыќты табу керек.

Егер (1)-дің оң жағындағы функциясы R облысында аныќталған және

теңсіздігімен аныќталса, онда , (h –тұраќты сан) аймағында (2) – бастапќы шартты ќанағаттандыратын (3)- түріндегі болмағанда бір түбір табылады. Бұл шешім жалғыз болады, егер R облысында Липшиц шарты орындалса, мұндағы

n–ші ретті дифференциалдыќ теңдеу үшін Коши есебі

Егер х-ті уақыт деп қарастырсақ, ал у₁,…,у_n – әлдебір механикалық жүйенің жалпылама координаттары десек, онда Коши есебінің келемі аспектісін аламыз: механикалық жүйені басқаратын дифференциалдық теңдеуді біле отырып, сондай-ақ оның бастапқы х₀ уақыт моментіндегі күйін біле отырып, жүйенің кез келген х уақыт моментіндегі күйін анықтау керек болады.

Мұндай есепті шешудің сандық әдістері екіге бөлінеді:

1. 
   Бірқадамды сандық әдістер – y=f(x) қисығында келесі нүктедегі функция мәнін табу үшін оның алдындағы бір ғана қадамдағы мән берілген жағдайда қолданылады. Оларға – Рунге-Кутта, Эйлер, Эйлер-Коши әдістері жатады.
   
2. 
   Көпқадамды сандық әдістер - y=f(x) қисығында келесі нүктедегі функция мәнін табу үшін оның алдындағы бірнеше қадамдардағы (нүктелердегі) мәндер берілген жағдайда немесе мәндер таблицасын толықтыру жағдайында қолданылады. Оларға жататындар – Адамс, Милн әдістері.
   

Коши есебін шешудің бұл әдісі бірінші ретті дифференциалдық теңдеуді интегралдауға мүмкіндік береді. Бұл әдістің дәлдігі төмен. Сондықтан практикада көп қолданылмайды. Бірақ бұл әдістің негізінде басқа тиімді, бірақ күрделі әдістерді меңгеру жеңілдейді.

(1)-(2) Коши есебі берілсін.

Геометриялық мағынасы: һ қадам таңдап алып берілген аралықта бірдей қадаммен нүктелер жиынын құраймыз:

x_i=x₀+ih (i=0,1,2,…). (4)

M₀(x₀,y₀) нүктесінен өтетін ізделінді y=y(x) интегралдық қисықты төбелері M_i (x_i,y_i) (i=0,1,2,…) болатын Эйлер сынықтарымен M₀M₁M₂… алмастырылады:

Әрбір M_iM_i+1 сынықтары бағыты M_i нүктелерінен өтетін (1)-теңдеумен берілген интегралдық қисықтың бағытымен беттеседі.

Сонда есептеу формуласы келесі түрде жазылады:

Y_i+1=y_i+y_i, (6)

y_i=hf(x_i,y_i) (i=0,1,2,…)

2. Эйлер – Коши әдісі.

Бастапқы нүктедегі ақиқат қисыққа жанама көлбеуі бұрышының тангенсі белгілі және -ға тең болса да, ол тәуелсіз айнымалының өзгеруіне байланысты өзгеріп отырады. Сондықтан x₀+h нүктесінде жанама көлбеуі x₀ нүктесіндегі жанама көлбеуіндей болмайды. Осыдан, h интервалында бастапқы жанама көлбеуін сақтай отырып есептеу барысында қателік пайда болады. Эйлер әдісінің дәлдігін арттыру үшін туынды аппроксимациясын жақсарту керек, яғни интервалдың бастапқы және соңғы нүктелерінде туындының орта мәнін алуға болады. Бұл әдісті Эйлер – Коши әдісі дейді. Бұл әдісте алдымен Эйлер формуласы қолданылады:

Бұл әдіс те бірқадамды әдіске жатады.

(2)

Мұндағы К аралық сандары төмендегідей табылады: