Екінші тарау
§2. Гипербола және парабола
жүктеу/скачать 1,53 Mb.
|
аналит.геомет.52-90
| §2. Гипербола және парабола
Анықтама. Жазықтықта берілген екі нүктеден ара қашықтарының айырмасы (абсолют мәні бойынша) әрқашан тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орнын гипербола деп атайды. Берілген F1, F2 нүктелерді гиперболаның фокустары деп атайды. Айтылып отырған геометриялық орынның кез-келген нүктесін М(х;у) деп алсақ, онда: Бұл теңдікті өрнектеп ықшамдасақ гиперболаның қарапайым (канондық) теңдеуі шығады, яғни (2.1) y N M
b a c S1(-C;0) F(C;0) Сурет 2.1. Бұнда “а“–гиперболаның нақты жарты осі, ал “в“–жорамал жарты осі, 2с гиперболаның фокустарының ара қашықтығы, онда а, в және с–ның арасындағы қатнастар келесі формула бойынша анықталады: (2.2) Егер тең болса, ол гиперболаны тең бүйірлі гипербола дейді, оның теңдеуі болады: (2.3) Гипербола фокустарының ара қашықтығының нақты өске қатнасын, яғни мына қатнасты: (2.4) оның эксцентриситеті деп атайды. сондықтан болады. Егер нүкте қисық – сызығының бойымен үзіліссіз жылжып отырғанда ара қашықтық нольге ұмтылса, онда түзу қисық –ның асимптотасы болады. К М
N Р
Сондықтан теңдеуі арқылы берілген келесі екі түзуді гиперболаның асимптоты дейді, яғни (2.5) Есеп 2.1. Координата басына симметрия, фокустары абсцисса бойында жатқан гиперболаның теңдеулерін тап, егер: а) өстері , болса. б) фокустарының ара қашықтығы 2с=10 және өс 2в=8. в) фокустарының ара қашықтығы 2с=6 және эксцентриситеті . г) өс 2а=16 және эксцентритет д) асимптотасы және фокустарының ара қашықтығы болғанда . а) Шешуі. а=5, в=4 онда (2.1) формуласын қолданып гиперболаның теңдеуін жазамыз б) Шешуі. с=5, в=4, онда (2.2) формуласын қолданып, табамыз нақты жарты осі а–ны, яғни а2+16=25 а2=25–16=9 енді (2.1) бойынша гиперболаның теңдеуін жазамыз в) Шешуі. с=3, табу керек жарты осі “а“, “в“–ны, ол үшін (2.4) формуласын қолданамыз, яғни Енді (2.2) қолданып “в” жарты өсті табамыз а2+в2=с2 4+в2=9 в2=5, онда г) Шешуі. а=8, табу керек в–жарты өсті. Ол үшін әуелі (2.4) формуласын қолданамыз, яғни , енді (2.2) қолданып табамыз “в“–ны 64+в2=100 в2=36 гиперболаның теңдеуі д) Шешуі. Есептің берілгені бойынша , ал с=10 а және в жарты өстерді табу үшін (2.2) формуласын қолданамыз, ол , онда бұны а2+в2=с2 теңдеуіне қоямыз 36+в2=100 в2=64, в=8, енді гиперболаның теңдеуін жазамыз Есеп 2.2. Координата басына симметрия, фокустары абсцисса осінде жатқан гиперболаның теңдеуін тап, егер: а) гипербола М1(6;–1) және М2(–8;) нүктелер арқылы өтсе. б) гипербола М1(–5;3) нүктесі арқылы өтсе және эксцентриситеті в) гипербола М1(;–1) нүктесі арқылы өтсе және оның асимптоты болса. а) Шешуі. Гипербола М1 және М2 нүктесі арқылы өткеннен соң, ол нүктелердің координатасы, гиперболаның теңдеуін қанағаттандырады, М1(6;–1) және М2(–8;) нүктелерінің координатасын (2.1)–ге қоямыз, яғни бірінші теңдеуді (–8)–ге көбейтіп қосамыз, сонда бұл мәнді а2=32 бірінші теңдеуге қоямыз, сонда гиперболаның теңдеуі б) Шешуі. Гипербола М1 нүктесі арқылы өткен соң, ол нүктенің координатасы М1(–5;3) гиперболаның теңдеуін қанағаттандырады, яғни Енді гиперболаның эксцентриситетін қолданып екінші теңдеу құрамыз онда гиперболаның теңдеуі х2–у2=16 бұл гиперболаны тең бүйірлі дейміз. в) Шешуі. М1 нүктесінің координатасын гиперболаның (2.1) теңдеуіне қоямыз Енді (2.5) формуласын қолданып, табамыз онда онда , гиперболаның теңдеуі Есеп 2.3. Гиперболаның фокусы элипсінің фокусында жатыр, ал эксцентриситеті Е=2, табу керек гиперболаның теңдеуін. Шешуі. Әуелі элипстің фокусының координатасын табамыз (1.4) формуласы арқылы , . F1(-4;0) және F2(4;0) Бұл тапқан F1 және F2 нүктелері есептің шарты бойынша гиперболаның фокустары болады. Енді гиперболаның жарты өстерін “а” және “в” табу үшін (2.4) және (2.2) формулаларын қолданамыз, , , . Табылған , мәндері бойынша гиперболаның теңдеуін жазамыз жүктеу/скачать 1,53 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|