Екінші тарау
жүктеу/скачать 1,53 Mb.
|
аналит.геомет.52-90
- Бұл бет үшін навигация:
- §5. Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру
| Жаттығулар
Келесі, сызықты бөлшек функцияларды түрлендір және суретін сал. а); б) ; в) Жауабы:
а); О1(–2;1); х=–2, у=1 асимптотасы. б) ; О1(–2;3); х=–2, у=3 асимптотасы. в) ; О1(); х=–; у= асимптотасы. 3. х2–у2=а2 тең бүйірлі гиперболаның теңдеуін түрлендіру. Шешуі. ОХУ система координатын =–450 бұрышқа бұрсақ (3.3) формуласын қолданып, сонда х2–у2=а2 теңдеуі ықшамдалады, яғни немесе немесе Жаттығу.
тең бүйірлі гиперболаның теңдеуін түрлендір, егер система координатын бұрғанда. Жауабы. . §5. Екінші ретті қисықтардың жалпы теңдеуін түрлендіру Тік бұрышты декарт система координатында берілген сызықтың теңдеуінің дәрежесі екі болса, ол сызықты екінші ретті сызық дейді. Екі айнымалы шамасы бар екінші ретті қисық сызықтың жалпы теңдеуі келесі түрде жазылады (5.1) Жазықтықта жатқан S(х0; у0) нүктесі екінші ретті қисық сызықтың центрі болады, егерде жазықтықта жатқан қисық сызықтың нүктелері пар–парымен S(х0; у0) нүктесіне симметрия болса. Екінші ретті сызықтың центрін табу үшін (5.1) теңдеуінің коэффициенттерін пайдаланып келесі теңду системасын құрамыз (5.2) (5.2) системасын шешіп және –ді табамыз, яғни S(х0; у0) нүктесін, ол нүкте (5.1) сызығының центрі болады. Егер (5.2) теңдеуінің шешімі болса, ол шешім (5.1) сызығының тек ғана жалғыз центрі болатынын көрсетеді, ал (5.2) шешімі болмаса немесе көп шешімі болса, онда (5.1) сызығының центрі жоқ немесе шексіз көп болады. Айталық, S(х0; у0) нүктесі қисық сызықтың центрі болса, онда жаңа координата басын S(х0; у0) нүктесіне көшірсек, координата системасын параллель түрлендіру формуласы (3.1) келесі түрде жазылады (5.21) (5.2)–ні (5.1) теңдеуіне қойып ықшамдасақ, шығады (5.3) бұнда (5.4) Ал екінші, үшінші ретті алгебралық анықтауышты қолдансақ, онда (5.2)–ші теңдеудің анықтауышын –деп белгілесек, ол тең болады , (5.5) болмаса (5.2)–ші теңдеудің бір ғана шешімі болады, яғни қисық сызықтың центрі Крамер формуласы бойынша табылады. (5.6) (5.4) формуласын үшінші ретті анықтауыш арқылы жазуға болады, яғни , (5.7) бұнда
(5.8) (5.8) анықтауышы (5.1) теңдеуінің коэффициенттерінен құралады. Енді, (5.3) теңдеуін әрі қарай ықшамдау үшін координата системасын бұрышына бұру әдісін қолданамыз (5.9) Егер бұрышын келесі теңдеуді қанағаттандыратындай етіп алсақ, яғни (5.10) онда, (5.3) теңдеуі жаңа система координатында келесі түрде жазылады (5.11) Ал, sіn, cos және мәндері келесі формула арқылы табылады (5.12) Ал, (5.1) және (5.11) теңдеулерінің коэффициенттерінің арасында өте қажетті қатынас бар, ол координата системасын түрлендірмей бірден және коэффициенттерін табуға болады, яғни (5.13) Екінші ретті қисықтың теңдеуін айтамыз: егер эллипс болады егер гипербола болады (5.14) егер парабола болады деп Есеп 5.1 Келесі екінші ретті теңдеулерді, координата системасын параллель түрлендіру формуласын (5.2) қолданып қарапайым түрге келтіріңдер және суретін сал. а) 4х2+9у2–40х+36у+100=0 б) 9х2–16у2–54х–64у–127=0 в) 2х2+3у2+8х–6у+11=0 Шешуі. а) ықшамдау үшін оның центрін табу керек (5.2) формуласын қолданып себебі А=4, В=0, С=9, D=-20, E=18, F=100 ) нүктесі сызықтың центрі болады. (5.4) формуласы бойынша -ны табамыз =-205+18(-2)+100=-36 сонда а) теңдеуі жаңа система координатында келесі түрде жазылады (сурет 5.1) немесе эллипстің теңдеуі Шешуі. б) Жоғарыда көрсетілген шешім бойынша (5.2), (5.4) формуласын қолданып теңдеуді ықшамдаймыз, бұнда А=9, В=0, С=–16, D=-27, E=-32, F=-127 центрі =(-27) 3+(–32)(–2)–127=–144 жаңа система координатында б)теңдеуі келесі түрде жазылады (сурет 5.2) немесе Шешуі в) коэффициенттері А=2, В=0, С=3, D=4, E=-3, F=11, онда (5.2) және (5.4) формуласы бойынша табамыз центрі =4(–2)+(–3)1+11=0 жаңа система координатында эллипстің теңдеуі бұл тек ғана жалғыз (–2;1) нүктені береді, бұндай эллипстің теңдеуін, эллипстің азған теңдеуі дейді. Есеп 5.2. Келесі екінші ретті теңдеулерді қарапайым түрге келтір және түрін анықта, ескі және жаңа координата системасында суретін сал. а) 32х2+52ху–7у2+180=0 б) 5х2–6ху+5у2–32=0 в) 17х2–12ху+8у2=0 Шешуі. а) 32х2+52ху–7у2+180=0, А=32, В=26, С=–7, D=0, E=0, F=180 (5.2) формуласын қолданып қисық сызықтың центрін табамыз центрі S(0;0) нүктесінде жатыр, яғни оху координата системасының басында жатыр. (5.4) формуласы арқылы табамыз –ны, яғни =Dx0+Ey0+=0+0+180=180 (5.2) формула бойынша табамыз, сонда берілген теңдеу келесі түрде жазылады Енді бұл теңдеуді ықшамдау үшін, координата системасын сағат стрелкасына қарама–қарсы бағытқа –бұрышына бұрамыз,ол үшін (5.9), (5.10) және (5.12) формуласын қолданамыз. (5.10) формуласы бойынша tg табамыз 26tg2–(–7–32)tg-26=0 26tg2+39tg-26=0 tg= tg1=-2, tg2=, аламыз tg=-2 Енді (5.12) формула бойынша Бұл шыққан sіn, cos мәндерін (5.9) формуласына қоямыз, сонда осы шыққан мәндерді теңдеуге қоямыз, соны ықшамдаймыз. y
01 Сурет 5.1 y 0 x
Cурет 5.2 Сурет 5.3 Бұл гиперболаның теңдеуі жаңа система координатында (сурет 5.3). Шешуі. б) 5х2–6ху+5у2–32=0 А=5, В=–3, С=5, F=-32, D=0, E=0. (5.2) формуласын қолданып қисық сызықтың центрін табамыз қисық сызықтың центрі S(0;0) оху координата системасының басында жатыр, онда (5.2) формуласын қолданып жазамыз ал, берілген теңдеу келесі түрде жазылады y 0 x жүктеу/скачать 1,53 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|