1. 1Жиын ұғымы. Шекті және шексіз жиындар. Жиындарды анықтау тәсілдері.Ішкі жиындар. Берілген жиынның барлық жиынтығы. К- элемент жиындарының саны туралы n- элемент жиынтығы
жүктеу/скачать 336,61 Kb.
|
1. 1Жиын ??ымы. Шекті ж?не шексіз жиындар. Жиындарды аны?тау т?с
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема1.12 (Кантордың жалпы теоремасы).
| Теорема 1.11 (Кантор). 0 мен 1-ден тұратын ақырсыз тiзбектер жиыны саналымсыз, яғни бұл жиын натурал сандар жиынымен тең қуатты болмайды.
Дәлелдеуi. Керi жору әдiсiн қолданамыз. Берiлген жиын саналымды деп есептейiк. Онда 0 және 1-ден тұратын барлық ақырсыз тiзбектердi натурал сандар арқылы нөмiрлеуiмiзге болады. Егер бұл тізбектерден тұратын жиын саналымды болса, ол жиынның элементтерін натурал сандар арқылы нөмірлеуге болады (кері жору!). Демек, осындай тізбектерді a0,a1,a2,… арқылы белгілеп, олардан келесі ақырсыз саналымды ( өлшемді) кесте құруға болады. a0= a00a01a02… a1= a10 a11a12… a2 = a20 a21a22… мұндағы aij элементі i-шi тiзбектiң j-шi мүшесiн бiлдiредi. Ендi a00, a11, a22, … диогоналдық элементтерден тұратын a=a00a11a22… тiзбегi бойынша, bi = 1–aii тәртiбiмен b = b0b1b2… тiзбегiн құрайық. Мұндағы bi ¹ aii, ендеше b тiзбегi кестедегi кез келгенai тiзбегiнен i-шi элементi бойынша өзге болады, яғни bi¹ai, немесе b тiзбегi жоғарыдағы кестеде кездеспейдi. Демек 0 мен 1-ден тұратын ақырсыз тiзбектер жиынын саналымды кесте арқылы бере алмаймыз. Бұл бiздiң жорумызға қайшы. Теорема дәлелдендi. Теорема1.12 (Кантордың жалпы теоремасы). Ешбiр X жиыны өзiнiң барлықiшкi жиындарының жиынымен тең қуатты болмайды. Дәлелдеуi. Р(X) арқылы X жиынының барлық iшкi жиындарының жиынын белгілейік. Керi жоримыз. Кері жорып, қандай да бір j бейнелеуi X және Р(X) жиындарының арасындағы өзара әрмәнді сәйкестiк болсын дейік. Z={аÎC½ аÏj(а) } жиыны X жиынының өз бейнесiне тиiстi емес элементтерден тұратын iшкi жиыны болсын. Онда Z жиыны j бейнелеуi бойынша, X жиынының ешбiр элементiнiң бейнесі болмайтынын көрсетейiк. Егер олай болмаса, j(z) = Z болатындай zÎX элементi табылады. Онда zÎZ Û zÏj(z) Û zÏZ. (Бiрiншi Û парапарлық Z жиынын анықтау жолынан, ал екiншi Û парапарлық j(z)=Z шартынан шығады). Осы қайшылық, жоғарыдағы жоруымыздың қателігiн, яғни X және Р(X) жиындарының арасында еш уақытта өзара әрмәнді сәйкестiк болмайтынын көрсетедi. Теорема дәлелдендi. Шексіз ондық бөлшектерде жазылған сандардан айырмашылығы, периодты емес шексіз ондық бөлшектерде иррационал сандар ғана жазылады. Екі теріс емес иррационал санның қосындысы ақырында рационал сан болуы мүмкін. Иррационал сандар рационал сандар жиынындағы Дедекинд бөлімдерін анықтайды, олардың төменгі класында ең үлкен сан жоқ, ал жоғарғы сыныпта одан кіші сан болмайды. Кез келген нақты трансценденттік сан иррационал. Барлық иррационал сандар алгебралық немесе трансценденттік болып табылады.Жолдағы иррационал сандар жиыны тығыз орналасқан және оның кез келген екі санының арасында иррационал сан болуы міндетті. Иррационал сандар жиыны шексіз, саналмайтын және 2-ші категорияның жиыны.Рационал сандарға кез келген арифметикалық амалды орындағанда, 0-ге бөлуден басқа, оның нәтижесі рационал сан болады. Жиындар теориясында кез келген қуатты жиын үшін оның ішкі жиындарынан тұратын жиынның қуаты әлдеқайда жоғары. Сондықтан ең жоғары (ең көп, максималды) қуатты жиын болмайды. Жиынның қуатына жаңа көзқараспен қарауға болады, оны қандай да бір жаңа объект ретінде қарастырсақ болады, оны кардинал немесе кардиналды сан деп атайды Жиындардың Декарт көбейтіндісі х1...хn n элементтен тұратын реттелген тізбекті (x1,x2,…,xn) немесе Мысалдар {a,b,c} және {1,2} жиындарынан ұзындығы 2-ге тең 6 кортеж құруға болады: (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2) 2. Кез-келген әріптерден құралған сөз кортеж, натурал сандардың ондық жүйедегі жазылуы цифрлардан тұратын кортеж т. б. Кез-келген координаттары әртүрлі реттелген ақырлы жиын кортеж.Ұзындығы 2-ге тең кортеждер реттелген жұптар, ұзындығы 3-ке тең кортеждер реттелген үштіктер, ұзындығы n-ге реттелген n-діктер деп аталады. Жиындар екі элементпен алу амалының көмегімен төмендегі ережеге сәйкес кодталады. < >⇋Æ, жүктеу/скачать 336,61 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|