1 дәріс. Механикалық қозғалыстардың теориялық негіздері

жүреді (15.3.1 -сурет), сондықтан: 
1
1
1
cos
,
d
y
a
ω t
υ


=
−




(15.3.3) 
2
2
2
cos
.
d
y
a
ω t
υ


=
−




(15.3.4) 
15.3.1 – сурет
Бастапқы шарттарды мына түрде қабылдайық: 
1,0
1
1
cosφ ;
y
a
=
(15.3.5) 
2,0
2
2
cosφ ,
y
a
=
(15.3.6) 
мұнда 
1
2
1
2
φ
; φ
.
ωd
ωd
υ
υ
= −
= −
Екі тербелістердің қосылуы нәтижесінде қорытқы толқын пайда болады: 
(
)
cos
φ ,
y
a
ωt
=
+
(15.3.7) 
мұнда 
(
)
2
2
2
1
2
1 2
1
2
2
cos φ
φ ,
a
a
a
a a
=
+
+
−
немесе
(
)
2
2
1
2
1 2
1
2
2
cos φ
φ .
a
a
a
a a
=
+
+
−
(15.3.8) 
Енді 

1
−
2
=(
d
2
–d
1
)
=
d
=
2

d

екенін ескерейік, мұнда 
d
-ны 
толқындардың жүріс 
айырымы
дейді. Демек, қорытқы тербелістің амплитудасы 
(

1
−
2
)
фазалар ығысуына 
немесе 
d
толқындардың жүріс айырымына тәуелді. 
Амплитуданың максималды және минималды болатын шарттарын табу үшін (15.3.8)-
формуланы қолданамыз. Амплитуданың максималды мәніне толқындар жүріс
 
айырымының нольге немесе толқын ұзындықтарының бүтін санына тең болатын 
нүктелерде жетеді: 
2
φ
2
,
d
k



 =
= 
(15.3.9) 
мұнда 
k
= 0,1,2,.... Бұдан тербелістер максимумы 
d
k

=
(15.3.10) 
шарт орындалғанда байқалатыны шығады. Амплитуда минимумы төмендегі шартпен 
анықталады: 
(
)
φ 2
2
1
,
d
k



 =
= 
+
(15.3.11) 
мұнда 
k
= 0,1,2,.... Демек, 
(
)
2
1
,
2
d
k

=
+
(15.3.12) 
яғни амплитуда минимумы толқындар жүрісі айырымы жарты толқын санының тақ 
мәндеріне тең нүктелерде байқалады. 
Келтірілген талқылауға қарағанда, интерференция орнықты болу үшін ортаның әрбір 
нүктесінде 

фазалар айырымы тұрақты, яғни қорытқы тербелісті тудыратын толқындар 
В
d
1
d
2
S
2
S
1

когерентті болулары керек. 
б) Жиіліктері және амплитудалары бірдей қарсы толқындардың қосылу нәтижесі 
интерференция құбылысына ерекше мысал болады. Біреуі 
х
осінің оң бағытында, екіншісі 
– теріс бағытында таратылған, амплитудалары бірдей екі жазық толқындарды 
қарастырайық. Координатаның бастама нүктесін қарсы толқындар фазалары бірдей 
нүктемен байланыстырып, бастапқы фазалары нольге тең болатын уақыт мезетін бастапқы 
уақыт деп қабылдайық. Осы шарттарға сәйкес екі жазық толқындардың теңдеулері 
1
cos 2
,
t
x
y
a
T




=
−




(15.3.13) 
2
cos 2
t
x
y
a
T




=
+




(15.3.14) 
түрінде жазылады. Қосылу нәтижесінде пайда болған қорытқы тербелістің теңдеуі 
1
2
cos 2
cos 2
t
x
t
x
y
y
y
a
a
T
T








= +
=
−
+
+








өрнекпен беріледі. Қарапайым түрлендірулерден кейін 
2 cos 2
cos 2
x
t
y
a
T





=





(15.3.15) 
теңдеуін аламыз. Теңдеудегі 
cos
(
2

t/T
)
көбейткіш орта нүктелерінде пайда болған қорытқы 
тербелістің жиілігі қарсы толқындар жиілігіне тең екенін бейнелейді. Ал, 2
acos
(
2

x/

)
көбейткіш қорытқы толқынның амплитудасын анықтайды. Амплитуда теріс таңбалы 
болмайтындықтан, 
2 cos 2
.
x
A
a




=




(15.3.16) 
Пайда болған тербелісті 
тұрғын толқын
деп атайды. Тұрғын толқынның амплитудасы 
максималды болатын нүктелерді 
ығысудың бадыраю нүктелері
, ал нольге тең болатын 
нүктелерді 
түйіндер
деуге келісілген. Бадыраю нүктелерінің орны 
2
;
0,1, 2,...
x
k
k



=
=
(15.3.17) 
шартпен анықталып, координаталары 
2
б
x
k

=
(15.3.18) 
формула көмегімен есептеледі. Сол сияқты түйіндер орны 
(
)
2
2
1
;
0, 1, 2,...
2
x
k
k



= 
+
=
(15.3.19) 
шартпен анықталып, координаталары 
(
)
2
1
4
т
x
k

= 
+
(15.3.20) 
теңдікпен өрнектеледі. 
Көршілес түйін нүктелер арасындағы қашықтық 
,
1
,
;
2
т n
т n
x
x

+
−
=
(15.3.21) 
түйін мен бадыраю нүктесі арасындағы қашықтық 
4
т
б
x
x

−
=
(15.3.22) 
өрнектермен анықталады. Тұрғын толқын графигі 15.3.2 - суретте беріліп отыр. Түйін 

нүктесінен өткенде тербелістің фазасы қарама-қарсы өзгеретінін атап кету маңызды. Бұл 
тұжырымдамаға амплитуданы анықтайтын 
cos
(
2

x/

)
көбейткіш түйін нүктесіндегі ноль 
мәнінен өткенде таңбасының ауысатыны дәлел бола алады. 
Екі көршілес түйіннің арасындағы барлық нүктелер бірдей фазамен тербеледі, яғни, бір 
мезетте максималдық ауытқуға жетеді, бір мезетте тепе-теңдік күйде болады т.с.с., ал 
түйіннің екі жағында бірдей қашықтықта орналасқан нүктелер қарама-қарсы фазалармен 
тербеледі. 
Екі ортаның шекарасындағы толқынның шағылу нүктесінде орталар тығыздықтарының 
қатынастарына тәуелді не түйін, не бадыраю құбылысы байқалуы мүмкін. Бетінде толқын 
шағылысқан ортаның тығыздығы тербеліс таратылған ортаның тығыздығынан артық 
жағдайда шекарада түйін пайда болады. Керісінше, егер толқын таратылған орта тығызырақ 
болса, шағылу орнында бадыраю нүктесі болады. Бекітілген шекарадан шағылу құбылысы, 
мысалы бір ұшы бекітілген бау бойымен таратылған толқын, тығыздығы көбірек ортадан 
шағылудың аналогі бола алады. Керісінше ұшы бекітілмеген бау бойымен таратылған 
толқын, тығыздығы азырақ ортадан шағылған толқынға ұқсас болады. 
Егер шекаралық ұштар бекітілген болса, түскен толқын таратылған ортаның шекаралық 
бөлшектерінің ығысуы кез келген уақыт мезетінде нольге тең болуы керек. Мұндай шарт 
бөлшектердің шағылған толқындағы ығысуы мен түскен толқындағы ығысуы кез келген 
уақыт мезетінде фаза бойынша бағыттары қарсы, шамалары тең болған жағдайда 
орындалады. Демек, бұл кезде шекарада түйін пайда болады. Фаза бағыты толқынның 
жарты ұзындығына тең қашықтыққа қарсы жаққа өзгеретіндіктен, толқын тығызырақ 
ортадан шағылғанда, жарты толқын “жоғалады”. 
Тығыздығы аз ортадан шағылғанда, бөлшектер еркін тербеле алады. Сондықтан 
олардың қорытқы ығысуы түскен жєне шағылған толқындардағы ығысуларының 
қосындысына тең болады. Қорытқы ығысу амплитудасы ығысулар амплитудаларының 
қосындысына тең, яғни, шағылу нүктесінде бадыраю байқалады. Бұл жағдайда шағылу 
нүктесінде толқын фазасы өзгермегендіктен жарты толқын шығыны болмайды.
Тұрғын толқындардың пайда болуы тұтас серпімді ортаның шектелген бөліктеріндегі 
резонанс құбылысымен тығыз байланысты. Үрлеп ойнау аспаптарындағы ауа бағаналары, 
музыкалық аспаптарының шектері қарапайым тербелмелі жүйелердің мысалдары ретінде 
қарастырылулары мүмкін. Сонымен қатар олар – байланысқан материялық бөлшектер 
жиынтығынан тұратын жүйелер. Мұндай жүйелердің еркіндік дәрежелер санының шексіз 
болатыны айқын. Бұған қоса олардың өзіндік жиіліктер санының да шексіз көп болатыны 
түсінікті. 
Мысал ретінде екі ұшы да жабылған құбырда пайда болатын еркін тербелістерді 
алайық. Қайсыбір нүктеде туған толқын құбыр шегіне жеткеннен кейін жарты толқынды 
жоғалта отырып шағылады. Кері қайтқан толқын құбырдың екінші шетінен жарты 
толқынды жоғалта отырып шағылу нәтижесінде бастапқы нүктеге қайта оралады. Демек, 
тиісті шарттар орындалғанда, құбырда оның тұйықталған ұштарында түйіндері 
орналасатын тұрғын толқын орнығады. Мұндай толқын жүрісінің ұзындығы құбырдың екі 
еселенген ұзындығына тең. Дәлірек айтқанда, құбырдың екі еселенген ұзындық бойына 
саны бүтін толқындар орналасса, түскен және шағылған толқындардың қосылу нәтижесінде 
тұрғын толқын пайда болады. Осы айтылғандарға қарағанда толқын ұзындығы төмендегі 
15.3.2 - сурет

 x
 y
u

өрнекпен анықталады: 
2
,
l
n

=
(15.3.23) 
мұнда 
n
= 1,2,3,..... Құбырдағы еркін тербелістердің саны 
2
υ
υ
ν
n
l

= =
(15.3.24) 
өрнекпен есептеледі. Сонымен, құбырда еркін тербелістер саны шексіз көп жиіліктермен 
жүреді екен. Олардың ішінде 
1
2
υ
ν
l
=
(15.3.25) 
жиілікпен жүретін тербелісті 
негізгі үн
деп атайды. Ал, (15.3.24)-формула көмегімен n

1 
шартқа сәйкес есептелетін басқа үндерді 
гармоникалық обертондар
дейді. 
Екі ұшы да ашық құбырда тұрғын толқындардың пайда болу шарттары бұрынғыша 
өзгерусіз қалады. Егер құбырдың бір ұшы ашық, екінші ұшы жабық болса, жабық түбінен 
толқын шағылғанда жоғалатын жарты толқынды қосу керек: 
(
)
1
.
2
υ
ν
n
l
=
−
(15.3.26) 
Екі ұшы жабық құбырдағы тұрғын толқындарды қарастырғанда құбыр шеттерінде 
фазалардың өзгеруі қарсы бағыттарда жүргендіктен, бұл амалдың қажеті болған жоқ. 
Амплитудалары бірдей түскен және шағылысқан толқындар қарама-қарсы бағыттарда 
бірдей энергия тасымалдағандықтан, қума толқыннан ерекше тұрғын толқын энергия 
тасымалдайды. Сондықтан жақын түйін нүктелердің аралығында орналасқан қорытқы 
тұрғын толқынның толық энергиясы тұрақты болады. Тек, энергияның түрі өзгеріп, 
потенциалдық энергия кинетикалыққа ауысып және кері процесс жүріп отырады. Үнемі 
тыныштық қалыпта болатын түйін нүктелер арқылы энергия ағыны өтпейді. 

жүктеу/скачать 3,36 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: