Айтбаев Нуралы Жанарсович Орта мектеп оқушыларына стереометриялық есептерді шығаруда векторлық әдіске үйрету әдістемесі 7M01510 «Математика» білім беру бағдарламасы
жүктеу/скачать 0,95 Mb.
|
Айтбаев Нуралы Жанарсович
| Векторларға амалдар қолдану
Ғылым мен техникада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен ғана сипатталады (абсолют шамасымен). Мысалы: масса, уақыт, темпиратура, және т.б. Бұл шамаларды скаляр шамалар дейді. Ал, кейбір шамалар сан мәнімен ғана емес, сонымен қатар бағытымен де сипатталады. Мысалы: күш, үдеу, жылдамдық, импульс және т.б. Бұл – векторлық шамалар. Бір қызығы жоғарыда айтылған барлық векторлық шамалар механикада кездеседі. Алайда механиканың дамуы кезінде векторлық анализ тіпті болмаған. Векторлық анализ тек Максвелдің электромагниттік теориясынан кейін ғана пайда болған. Себебі: электр және магнит өрістерінің табиғаты – векторлық. Кез-келген вектордың ұзындығы (вектордың шамасына пропорционал) мен бағыты болады. Өзінің сандық мәнімен қоса кеңістіктегі бағытымен де сипатталатын шамалар векторлық шамалар немесе векторлар деп аталады.Сонымен, орын ауыстыру векторлық шама болып табылады. Векторларды бағытталған кесінді түрінде кескіндейді және бір әріппен немесе вектордың басы мен ұшын көрсететін екі әріппен белгілеп, төбесіне нұскама (стрелка) қояды. Кез келген вектордың сандық мәні оның модулі деп аталады.Модуль — скалярлық шама. Егер және векторларының модульдері мен бағыттары бірдей болса, онда олар тең болады . Ал векторлардың модульдері тең болып, бірақ бағыттары қарама-қарсы болса, онда = - болады. Векторларды қосу.Мысалы, кез келген және векторлары берілсін. Осы векторларды қосып, + -ға тең болатын векторын табу керек. Ол үшін векторды өзіне-өзін параллель көшіргенде вектор өзгермейді дейтін ережені пайдаланамыз. Осы ереженің көмегімен векторларды қосудың бірнеше тәсілдерін көрсетуге болады. Мысалы, екі векторды бастарын түйістіре параллелограмның екі қабырғасы болатындай етіп өз-өзіне параллель көшіреміз де, параллелограмм саламыз. Сонда екі вектордың шыққан нүктесінен жургізілген бағыты көрсетілген диагональ қорытқы вектор болып табылады . Векторларды осылайша қосу параллелограмм ережесі бойынша қосу деп аталады. 2-сурет Векторларды қосуда үшбұрыш ережесін де қолдануға болады. Ол үшін берілген векторларды бірінші вектордың ұшы екінші вектордың басымен түйісетіндей етіп, өз-өзіне параллель көшіреміз. Сонда бірінші вектордың басынан екінші вектордің ұшына қарай жүргізілген вектор сол екі вектордың қосындысын береді. Ал енді екеу емес, бірнеше векторды қосу керек болса. Онда векторларды, алдыңғы вектордың ұшына келесі вектордың басы жалғасатындай етіп, әркайсысын параллель көшіреміз. Сонда алынған көпбұрыштың басы мен ұшын тұйықтап тұрған векторы қорытқы вектор болып есептеледі. Ол бірінші вектордың басынан соңғы вектордың ұшына қарай бағытталады және мынаған тең болады: = + + + Векторларды азайту. Векторларды косу ережесінен векторларды азайту ережесін шығарып алуға болады. Мысалы, - векторын табу керек болсын. Бұл теңдікті = + ( - ) түрінде жазуға болады, яғни векторлардың айырымын табу үшін а азайғыш векторға модулі азайткыш векторға тең, бірақ оған карама-карсы бағытталған - векторын қосу керек. Немесе екі векторды өздеріне параллель көшіріп, бастары бір нүктеден шығатындай етіп орналастырамыз. Содан соң олардың ұштарын азайтқыштан азайғышка қарай бағытталған вектормен қосамыз. Міне, осы векторы қорытқы вектор болады. 3- сурет Бір түзудің бойында жатқан немесе бір-біріне параллель векторлар бір жаққа қарай не қарама-қарсы бағытталуы мүмкін. Мұндай векторлар және векторлары сияқты қосылады, яғни бірінші вектордың ұшы екінші вектордың басымен қосылады. Қорытқы вектор модулі бойынша қосылатын векторлар модульдерінің арифметикалық қосындысына немесе арифметикалық айырымына тең. Қорытқы вектор қосылатын векторлармен бағыттас модулі үлкен вектор жаққа қарай бағытталады. Векторларды скалярға көбейту (бөлу) Берілген векторын кез келген скалярға көбейту (бөлу) үшін осы вектордың модулін берілген санға көбейтеміз (бөлеміз): = • ( = : ). Қорытқы вектордың бағыты к көбейткішінің (бөлгішінің) таңбасымен анықталады. Егер оң болса ( > 0), онда векторы векторымен бағыттас, ал теріс болса < 0), векторының бағыты векторының бағытына қарама-қарсы болады. 4- сурет және векторларының скаляр көбйтіндісі бұл векторлардың модульдерінің осы векторлардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең. Яғни ( , ) =| · | | cos∠(a, b), мұндағы ∠(a, b) дегеніміз a және b векторларыныңарасындағыбұрыш. Скаляр көбейтіндінің қасиеттері: 1 (a, b) = (b, a) 2 (a, a) = |a|2 3 (a+b, c) = (a, c) + (b, c) 4 (a -b, c) = (a, c) -(b, c) 5 (k ·a, b) = (a, k ·b)=k ·(a, b) Скаляр көбейтіндісінің геометрикалық интерпретациясы. және векторларының ( , ) скаляр көбйтіндісі бұл векторлардың модульдерінің осы векторлардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең.Яғни (a, b) =|a| · |b| cos∠(a, b), мұндағы ∠(a, b) дегеніміз a және b векторларының арасындағы бұрыш. Вектордың векторлық көбейтіндісі. Геометриялық мағынасы. Егер және векторлары басы ортақ болса , онда векторлық көбейтіндінің модулі осы векторлардан құралған параллелограмның ауданына тең болады.Координаттық түрде берілген берілген векторлық көбейтінді.Егер , онда мына формуламен өрнектеледі: Аралас көбейтінді. Нөлдік емес үш вектораларының аралас көбейтіндісі деп, және векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының скалярлық көбейтіндісіне тең.Аралас көбейтіндінің қасиеттері: яғни көбейтудің орындалу ретін өзгертуге болады, сондықтан аралас векторлардың көбейтіндісін түрінде жазуға болады. Аралас көбейтіндіде көбейткіштердің орындарын ауыстырған кезде олардың таңбалары ауысады, мысалы Егер берілген үш вектордың екі векторы өзара тең немесе коллинеарлы болса, онда аралас көбейтіндісі нөлге тең болады. вектордың компланар болуының қажетті және жеткілікті шарты Векторларға қолданылатын сызықтық амалдар. Анықтама векторын нақты λ санына көбейту деп мына шарттарды қанағаттандыратын векторын айтады вектор векторына коллинеар. және векторының бағыттары бірдей, егер және қарама-қарсы бағытталған, егер . Егерде болса, онда векторлардың бағыттары анықталмаған, яғни кез келген бағытты қабылдайды. Векторларға сызықтық амалдар қолданудың негізгі қасиеттері. 1-қасиеті. Кез келген α және β сандары және векторы үшін мына теңдік орындалады:α(β ) 2-қасиеті. Екі вектордың қосындысында ауыстырымдылық заңы орындалады, яғни кез келген екі вектор. + 3-қасиеті. Үш вектордың қосындысына терімділік заңы орындалады, яғни әруақытта + + + ) + болады. 4-қасиеті. Векторлардың қосындысын санға көбейту үлестірімді, яғни кез келген , векторлары мен α саны үшін мына теңдік орындалады: + )= + 5-қасиеті. Кез келген α,β сандары және кез келген векторы үшін теңдігі орындалады. Екі бөлігіндегі векторлар өзара коллинеар. Анықтама: Параллель көшіруге болатын векторларды бос векторлар дейді, яғни бастапқы нүктесіне тәуелсіз, тек векторының ұзындығы мен бағытына ғана тәуелді вектор. жүктеу/скачать 0,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|