Айтбаев Нуралы Жанарсович Орта мектеп оқушыларына стереометриялық есептерді шығаруда векторлық әдіске үйрету әдістемесі 7M01510 «Математика» білім беру бағдарламасы
Көпжақтар тақырыбына берілген есептерді векторлық алгебра элементтерін пайдаланып шығару
жүктеу/скачать 0,95 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Жауабы: 1:3
| 2.2 Көпжақтар тақырыбына берілген есептерді векторлық алгебра элементтерін пайдаланып шығару.
Геометриялық есептерді векторлық әдіспен шешкенде есептің геометриялық қойылуынан оның векторлық тілде сипатталуына көшу керек. Бұдан кейін, векторлардың сәйкес қасиеттерін пайдаланып, есептің шешімін алуға болатындай векторлық қатынастарды табу керек. 1-есеп Радиусы ге тең шеңбер ішіне тең қабырғалы В. АВС салынған. М-шеңбердің жанама нүктесі болсын онда неге тең?(9-сурет) 9-сурет
Ең бастысы ескереміз, егер О-шеңбердің центрі болса, онда осылайша Берілген есеп дұрыс көпбұрыштар туралы көп мәлімет береді. Сонымен бірге М нүктесі үшін тек шеңбердің центрі арасындағы қашықтық ғана айтылған. Векторлық алгебраның әдіс-тәсілдері екі компланар емес векторлардың жазықтықта орналасуы мен үш компланар емес векторалрдың кеңістікте орналасуына негізделген. Төменде берілген есептерді екі типке бөлуге болады: «тура» және «кері». Тура есептер деп үш нүктенің бір түзуде жату постулатын немесе бір жазықтықта 4 нүктенің жатуын айтамыз. Мұндай есептерде негізінен көбінесе кесінділер ұзындықтары арасындағы кейбір қатынастарды орнатуға немесе тексеруге тура келеді. Кері есептерде кесінділер ұзындықтары арасындағы белгілі бір қатынастарда кез келген А,В,С үш нүкте бір түзулер бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеу керек. Жазықтықта тура есептерді шығару төмендегі векторлық формуланы тексеруге негізделген. мұндағы К нақты болғанда, А,В,С нүктелері бір түзуде жатады, немесе мына формуланы тексеру керек мұндағы А,В,С – бір түзудің нүктелері, ал О-жанама нүкте. 2- есеп. А...Д1 бірлік куб берілген координат басы – А нүктесінде; АВ түзуі – х осі; АА1 түзуі - осі. Сонда кубтың төбелерінің координаттары: (10-сурет) Шешуі: А(0; 0; 0), В(1; 0; 0), С(1; 1; 0) , Д(0; 1; 0), А1(0; 0; 1), В1(1; 0; 1), С1(1; 1; 1) , Д1(0; 1; 1) 10- сурет 3-есеп А...Е1 дұрыс бұрышты призманың барлық қыры 1-ге тең. АҒ1 түзуі мен ВСС1 жазықтығының арасындағы бұрыштың мәнін табу керек. Шешуі. Координата жүйесін енгіземіз. векторы АҒ түзуіне тиісті. ВСС1 жазықтығы ВВ1С1С жазықтығымен сәйкес келеді, осы есепті шешу үшін мына нүктеге ыңғайлы болып табылады: В(1; 0; 0), В1(1; 0; 1), С( ; ; 0). ВСС1 жазықтығының теңдеуі болсын. тиісті екендігінен және екені келіп шығады. Осыдан екені белгілі болады. ВСС1 жазықтығының теңдеуі немесе түрге келеді. Нормал векторы АҒ түзуі мен ВСС1 жазықтығының арасындағы синусы былай есептеледі.(11 –сурет) . 11-сурет
4-есеп. Төбелері нүктелерінде жататын пирамиданың көлемін есептеу керек. пирамидасының көлемі қабырғалары және болатын параллелепипед көлемін 6 есе кіші. Сондықтан Формула бойынша векторларының аралас көбейтіндісін есептейміз: Демек, (куб.бір). Сонымен, төбелері нүктелері болатынын пирамида көлемі формуласымен есептеледі. 5-есеп. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың барлық бүйір қабырғалары 1-ге тең. Е – SC қырының ортасы болса, ВЕ түзуімен SАР жазықтығы арасындағы бұрыштың -сын табыңдар. (17-сурет) Шешуі. Координата жүйесін енгіземіз. векторы ВЕ түзуінде жатыр Е нүктесінің координаталарын формуласы арқылы анықтаймыз: Е( ; ; ) және . АДС жазықтығының теңдеуі болсын. А(0; 0; 0), Д(0; 1; 0), S(1/2; 1/2; ) тиісті (АДС) болғанда, және екені шығады. Осыдан екені шығады және АДS жазықтығының теңдеуі мына түрге келеді. немесе . Нормаль векторы: . СС1 түзуі және АДС жазықтығының арасындағы бұрыштық синусын табамыз: Жауабы: 12-сурет
6 -есеп. параллелепипедтің АС1 диагоналінен М нүктесі, В1С диагоналінен нүктесі белгіленген, сонда және кесінділеріпараллель болсын. Осы кесінділердің ұзындықтарының қатынасын табыңыз. (13-сурет)
Шығару. және параллель болғандықтан, , яғни және векторлары коллинеар, ендеше (*). Тәуелсіз үшвектор енгізейік: болсын, әрине және векторларын векторлары арқылы өрнектейік; (14-сурет) және коллинеар, әрі және - бағыттары қарама – қарсы, сондықтан таңба «-» минус). , яғни ұзындықтарының қатынасы ; сол сияқты, вектор енгізейік: болсын, әрине және векторларын векторлары арқылы өрнектейік; (15-сурет) және коллинеар, әрі және - бағыттары қарама – қарсы, сондықтан таңба «-» минус). , яғни ұзындықтарының қатынасы ; сол сияқты, және коллинеар, әрі бағыттас, ендеше векторлары бойынша жіктеліп жазылған (1) және (2) мәндерін (*) – ге қоямыз: (*) Вектордың жіктелуінің бірден бірлігі туралы теорема бойынша тең векторлардың коэффициенттерін теңестіреміз: осы теңдіктерден теңдеулер жүйесін аламыз. Ол жүйенің жалғыз ғана шешімі бар: . Нәтижесінде , ендеше . Жауабы: 1:3 7-есеп. -пирамида, -трапеция, және қырларынан сәйкес түрде нүктелері белгіленген. және . және кесінділері өзара параллель. болса, кесіндінің ұзындығын табыңыз. (15-сурет) 15-сурет
Шығару: және векторлары параллель болса, олар коллинеар болады, сондықтан вектордың ұзындығы вектордың ұзындығынан санының модуліне көбейткенге тең болатынын ескеріп шығарамыз. Ол үшін деп белгілеп жазамыз.(16-сурет) 16- сурет (16-сурет) (1). және векторларын бойынша жіктеп жазайық: және коллинеар, бағыттас болғандықтан (2) . (2) және (3) жіктелудегі шыққан мәндерді (1)-ге қоямыз: Бұл векторлық теңдіктің коэффициенттерін теңестіріп, теңдеулер жүйесін құрамыз: немесе . Егер , онда қайшылыққа келеміз. Ендеше . Онда (3) және (5) теңдіктерін қосайық: . Жауабы: 8-есеп. DABC- дұрыс тетраэдр, (17-сурет). Шешуі: а) жүргіземіз. - көлбеуінің проекциясы үш теоремасы бойынша б) - тең бүйірлі. - жүргіземіз. және жүктеу/скачать 0,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|