Ќазаќстан Республикасы білім жєне ѓылым министрлігі
Вейерштрасстың бірінші теоремасы
жүктеу/скачать 5,24 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Вейрштрасстың екінші теоремасы
- Функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі Анықтама.
- Кантор теоремасы
| Вейерштрасстың бірінші теоремасы.
Егер функциясы [a,b] сегментінде үзіліссіз болса, сол сегментте шенелген функция. Бұл теореманы қарсы жорып дәлелдеу әдісімен дәлелдейміз. Ол үшін: [a,b] сегментінде шенелмеген (мысалы, жоғарыдан шенелмеген) функция деп жоримыз. Бұлай десек, әрбір натурал сан n үшін нүктесі табылумен бірге еңсіздігі орындалады. Енді [a,b] сегментінің нүктелерінен құралған тізбегін құрсақ, Больцано-Вейерштрасс леммасы бойынша бұл тізбектің құрамынан нүктесіне жинақталатын тізбекшесін бөліп шығаруға болады, яғни егер Онда теоременың шартына қарсы жоруымызға сәйкес Бірақ, теоременың шарты бойынша [a,b] сегментінің бүкіл бойында үзіліссіз функция делінген. Демек. функциясы нүктесінде де үзіліссіз екені анық. Олай болса, (2) мен (3) шарттарды салыстырсақ, олардың бір-біріне қайшы екенің білеміз. Ендеше, біздің қарсы жорып ұйғаруымызтеріс болып шықты. Осымен теорема дәлелденді. Вейрштрасстың екінші теоремасы Егер функциясы [a,b] сегментінде үзіліссіз болса, функциясы сол сегментте ең болмағанда бір рет өзінің ең үлкенмәнін, бір рет ең кіші мәнін қабылдайды. Функцияның бірқалыпты үзіліссіздігі Анықтама. Егер орындалатын болса, онда функциясы X жиынында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады. Егер f функциясы бірқалыпты үзіліссіз болмаса, онда орындалады. Кантор теоремасы. Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда ол осы сегментте бірқалыпты үзіліссіз болады. Кантор теоремасының салдары. Егер сегментінде үзіліссіз болса, алдың ала берілген кез келген саны үшін саны табылып, сегментін Шартын қанағаттандыратын нүктелері арқылы ұзындықтары дан кіші болтын түріндегі бөлік сегменттерге қалауымызша бөлсек, функциясының әрбір бөлік сегменттегі тербелісі санына кіші болады. Дәлелдеу. сегментінде үзіліссіз болғандықтан Кантор теоремасы бойынша ол функцмя сол сегментте бір қалыпты үзіліссіз болады. Олай болушылық кез келген саны үшін саны табылатыны және сегментіндегі кез келген екә нүкте мен үшін Шарты орындалса-ақ, сонымен бірге Теңсіздігі орындалады деген сөз. Енді қз еркімізше сегментін ұзындығы санына кіші болып келетін түріндегі сегменттерге бөліп жібереміз. Сонда: егер мен арқылы әрбір жекелеп алған бөлік тізбектің кез келген екі нүктесін белгілесек, олар үшін Теңсіздігі орындалады және бұнымен бірге пен -тер функциясының әрбір бөлік сегмнттег кез келген мәні, олай болса, олар функцияның сол сегменттегі ең үлкен және ең кіші мәні де бола алады. Демек, әрбір бөліксегментте функцияның тербелісі санынан кіші. жүктеу/скачать 5,24 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|