Дәріс 13. Математикалық анализ элементтері


Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері



бет4/12
Дата11.12.2022
өлшемі423,25 Kb.
#56522
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
Байланысты:
Д ріс 13. Математикалы анализ элементтері

6.4 Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері

Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері тұралы теоремаларды қарастырайық.


Теорема-1 (Вейерштрасстың 1-ші теоремасы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде шенелген болады.
Теорема-2 (Вейерштрасстың 2-ші теоремасы). Егер функциясы сегментінде үзіліссіз болса, онда оның осы кесіндіде ең үлкен және кіші мәндері бар болады, яғни , мұнда –функцияның ең кіші мәні, ал – функцияның ең үлкен мәні.
Ескерту. Вейерштрасстың 1-ші теоремасы оның 2-ші теоремасының салдары, себебі ең үлкен және ең кіші элементтері бар сандар жиыны осы екі сандармен жоғарыдан және төменнен шенелген болады (22-сурет).

22- сурет.
Теорема-3 (Больцано-Кошидың 1-ші теоремасы). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса және кесіндінің шеткі нүктелерінде әр түрлі таңбалы мәндер қабылдаса, онда аралығынан теңдігі орындалатындай (функция нольге айналатын) ең болмағанда бір с нүктесі табылады.
Бұл теоремалардың дәлелдеуін келтірмейміз.Теоремалардың дұрыстығын төмендегі суреттегі функция графиктерінен аңғару қиын емес (23-сурет).

23- сурет.
Теорема-4 (Больцано-Кошидың 2-ші теоремасы (аралық мән тұралы теорема). Егер функциясы қайсы бір аралықта үзіліссіз болса және осы аралықтың қандай да бір екі және нүктелерінде әр түрлі және мәндерін қабылдаса, онда А мен В мәндерінің арасында жатқан С нақты саны да осы функцияның мәні болады.
Дәлелдеуі. кесіндісінде үзіліссіз функциясы кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтыны, кесіндісінде (жиында) үзіліссіз функцияның анықтамасынан белгілі. Теореманың шарты бойынша, және , ал С осы (А, В) аралығындағы кез келген функцияның мәніне тең сан болсын.
кесіндісінде үзіліссіз функциялардың айырымына тең, осы кесіндіде үзіліссіз функциясын алайық. болатындығы айқын. Олай болса, 3-ші теорема бойынша, нүктеде орындалады. Соңғы теңдіктерден, теңдігі шығады және мұнда жоғарыда алғанымыз бойынша. Теорема дәлелденді.
Салдар. Егер үзіліссіз функциясының D анықталу облысы қандай да бір аралық болса, онда бұл функцияның Е мәндерінің жиыны да қандай да бір аралықты құрайды.
Дәлелдеуін оқу құралынан қарауға болады.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет