Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік



бет14/21
Дата14.05.2023
өлшемі1,39 Mb.
#92922
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21
Байланысты:
Äèôôåðåíöèàëäû? òå?äåóëåð òóðàëû æàëïû ò?ñ³í³ê

Тейлор формуласы
Жоспары:
1.Тейлор қатары
2.Тейлор қатарына функцияны жіктеу

Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.
Тейлор қатарына функцияны жіктеу
f(x) функциясының a нүктенің маңайында n+1 ретке дейінгі үзіліссіз туындылары бар болса, онда бұл функцияны Тейлор қатарына жіктей аламыз

немесе былай:



мұндағы Rn Лагранж қалдығы деп аталады және осылай аңықталады:

Макларен қатары
Тейлор қатарындағы a параметрі 0 тең болғанда, пайда болған қатар Макларен қатары деп аталады:

Кейбір функциялардың Макларен қатарына жіктелуі:

Пайдаланылған әдебиеттер


1 Ахметова Г.С. Математические методы. – Алматы: Наука, 2003. – 216 С.
2 Иванова Р.С. Анализ финансового состояния предприятий // Вопросы экономики: сб. науч. тр. Института экономики. – Алматы, 2004. – С. 214-217
3 Баженов Л.Г., Сорочинская И.Н. Сезонные изменения содержания имунноглобулинов в крови // Тезисы докл. III Межд. конф. по биологии. – Москва, 2000. - 320 с.
4 Омаров А.А. К вопросу о современном состоянии банковской системы РК // Финансы Казахстана. – 2009 г. - № 2. – С. 110-112.
5 Изучение кинетики и химизма процессов: отчет о НИР / ИМ и О АН РК. – Алматы, 2009 г. – 240 с. – Инв. № 810.
Сандық қатарлар. Қатарлардың қосындысы мен қатар жиынтығы.
─ сандық қатардың n-дербес қосындысыдеп аталады.
Егер
(11.2)
бар және ақырлы болса, онда сандық қатар жинақты,ал (11.2) шек жоқ немесе шектелмеген болса, қатар жинақсыздеп аталады. Берілген (11.1) қатардың шегі болатын S саны оның қосындысыдеп аталады.
М.1*.а)  ; ә)  ; б)  ; қатарларын жинақтылыққа зерттеп, егер жинақты болса олардың қосындысын табайық.
Шешу. а) Берілген қатардың мүшелері -  еселігі  болатын, геометриялық прогресия болып табылады. Ендеше, оның алғашқы  -мүшесінің қосындысы,
(*)
өрнегімен анықталады. Бұдан  болғанда  , ал  -  болатындығын көреміз. Еендеше, (*) n-дербес қосындыдан шекке көшсек,  болғанда қатардың қосындысы

болып шығады. Демек, қатар жинақты.
Егер де,  болса, берілген қатар жинақсыз.
ә) Берілген сандық қатардың бөлімін түрлендіру арқылы, жәй бөлшектерге жіктейік. Сондықтан, 
болғандықтан  . (1)
Онда (1) жәй бөлшекті пайдаланып берілген сандық қатардың n-дербес мүшесін мына түрде жазуға болады:
(2)
Енді бұл қосындыны жеке-жеке ашып жазайық,

Онда 
Демек, (11.2) шекті тапсақ

Ендеше, берілген сандық қатар жинақты, ал оның қосындысы  .
б) Жаңағы тәсіл бойынша қатар астындағы өрнекті жәй бөлшектерге жіктейік

Онда

Енді берілген қатарға сәйкес n-дербес қосындыны құрайық, яғни

Ендеше,

Бұдан берілген қатар жинақты, ал оның қосындысы  болсын.

 
(11.3)


қалдық қатардеп аталады.
М. 4*.а)  , ә)  қатарларын жинақтылыққа зерттейік.
Шешуі. а) Бірінші қатардан

Болғандықтан, оны  бигармоникалық жинақты қатармен (М, 3*) салыстырайық. Онда (11.7) қатынасты қарастыралық
.
Ендеше, 11.5 теорема бойынша берілген а) қатары жинақты.
ә) Бұл қатарды  гармоникалық жинақсыз қатармен (М. 3*) салыстырайық, 11.5-шектік теорема бойынша,  . Демек, берілген қатар жинақсыз.
11.6 Теорема(Д’Аламбер белгісі). Айталық,  қатары үшін
(11.8)
шегі бар болсын. Онда:
1º.  - берілген қатар жинақты;
2º,  - қатар жинақсыз.
11.7 Теорема(Коши белгісі). Айталық,  болғандағы  сандық қатары үшін
(11.9)
шегі бар болсын. Онда:
1º.  - қатар жинақты;
Айталық,  болсын. Енді көмекші

қатарын қарастырайық, Егер  болса, (*) қатары, еселігі  болатын геометриялық прогрессияның қосындысы болғандықтан, жинақсыз болады. Ал  болғанда (*) қатары  болғандықтан, жинақты.
Сонымен, соңғы 11.8 Коши теоремасы бойынша,  ─ Дирихле қатары  болғанда жинақты және  болғанда жинақсыз болады.
М.7*.  қатарын жинақтылыққа зерттейік.
Шешуі. Берілген қатарды  -дықтан, мүшелері





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   21




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет