Теорема. Егер евклид кеңістігіндегі ортогоналды векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортонормалданған векторлар жүйесін мына төмендегі
(4.13) (4.13)
формулалармен өрнектеуге болады.
Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін (4.13) формулалармен өрнектелген ортонормалданған векторлар жүйесі екенін дәлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда:
ал егер i= j болса, онда
Теорема дәлелденді.
Теорема. Кез келген п өлшемді евклид R кеңістігінде п вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.
Дәлелдеуі. векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің базисі болсын делік. Сондықтан, 4.7-теорема бойынша векторларына сызықты тәуелді ортогонал векторлар жүйесін құрамыз: Енді 4.8-теореманы пайдаланып, векторларына сызықты тәуелді , ортонормалданған вектор жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 4.6-теорема бойынша сызықты тәуелсіз, яғни евклид R кеңістігінің ортонормалды базисі. Теорема дәлелденді.
Мысал. [-1,1] сегментте анықталған дәрежесі үштен аспайтын көпмүшеліктер кеңістігіндегі ортогонал базисті табалық.
Ортогонал базисті табу үшін элементтерін базис ретінде қарастыралық. Енді 1, элементтеріне сызықты тәуелді ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша:
Мұндағы .
Сонымен,
(.9) формуладан
мұндағы
Сонымен,
Ең соңында (4.9) формуладан:
мұндағы
Сонымен,
Достарыңызбен бөлісу: |
