«Матрицы и действия над ними»
жүктеу/скачать 2,3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- -Sin x (e x ) /
- (ln x) /
- (cos (kx+b)) /
- (arccos x) /
- 3)Осознание и осмысление Задача 1 .
- Задача 3
- Ответ. Тема
- Развивающая
1)Какое значение в математике имеет производная? Каков механический и геометрический смысл производной? 2)Что такое нули функции?Как определить промежутки возрастания и убывания функции 2)Как находят точки экстремума 3)Для чего и нужно ли определять вторую производную? II Первичное усвоение Алгоритм полного исследования функций 1)область определения функции. Вертикальные асимптоты графика 2)Функция четная? Периодическая? 3)Определение первой производной и критических точек 4)Определение промежутков возрастания и убывания функции и точек экстремума - точек минимума и максимума 5)Нахождение значений данной функции в этих точках 6) Определение второй производной и точек перегиба функции 7)Определение наклонных асимптот графика по формулам к = Lim f(x)/x b=Lim (f(x)-x)) при х стремящемся к бесконечности 8)Построение искомого графика функции по точкам 3)Осознание и осмысление Задача 1. Исследовать функции и построить графики Рассмотрим сначала функцию область определения – вся числовая прямая: D(y)=R нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Очевидно, что один корень x1=2. Разделим (например, уголком) кубическую форму в правой части функции на линейный множитель (x-2) для отыскания еще двух других корней. Получим x3-6x+4=(x-2)(x2+2x-2) Квадратичная форма x2+2x-2 (по теореме Виета или через дискриминант) имеет два корня x2=-1-√3, x3=-1+√3. Таким образом, D0={-1-√3, -1+√3, 2} Очевидно, что это функция общего вида, т.е. не обладает свойством четности y(x) = y(-x) или нечетности y(x) = - y(-x) Функция не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что y(x)=y(x+Т) Особые точки: y(0)=4. Значит, график функции пересекает ось ординат в точке (0,4). Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек существенного разрыва (разрыва второго рода) хотя бы с одним односторонним бесконечным пределом. Убедимся, что нет и наклонных асимптот. Действительно, угловой коэффициент асимптоты равен Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем производную y’=3x2-6 и приравняем нулю: x2-2=0. Критические точки: -√2, √2. Они делят область определения на три участка монотонности: D=(-∞, -√2)U(-√2, √2)U(√2, ∞) Исследуем направление монотонности с помощью таблицы
Итак, участки монотонности: (-∞, -√2) – участок возрастания функции (-√2, √2) – участок убывания функции (√2, ∞) - участок возрастания функции Из таблицы легко определить точки экстремума. А именно, x=-√2 – точка локального максимума функции, а x=√2 – точка локального минимума функции Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода, т.е. точки, в которых производная второго порядка равна нулю или не существует. Найдем производную второго порядка y’’=6x Приравнивая нулю, получаем одну точку x=0. Она делит область определения функции на два участка: D=(-∞, 0)U(0, ∞) Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы
Итак, участки выпуклости: (-∞, 0) – участок выпуклости вверх (0, ∞) - участок выпуклости вниз Из таблицы легко определить точку перегиба. А именно, x=0 – точка перегиба функции Задача 2 Рассмотрим теперь функцию область определения – все точки числовой прямой, за исключением точки x=0: D(y)=R\{0} нули – точки, в которых значение функции равно нулю. Приравнивая нулю числитель, получаем D0={-2, 2} Очевидно, что это нечетная функция. В самом деле, Значит, график функции симметричен относительно начала координат. Функция также не является периодической, т.е. не найдется такого Т, что y(x)=y(x+Т) Особые точки: x=0. Найдем односторонние пределы в этой точке: Полученные значения односторонних пределов позволяются сделать вывод, что функция имеет вертикальную асимптоту x=0. Убедимся, что функция имеет и наклонную асимптоту y=kx+b. Действительно, Следовательно, y=-x+b. Найдем параметр b. Итак, наклонная асимптота заданной функции такова: y=-x Исследуем функцию на монотонность. Для этого вычислим критические точки первого рода. Найдем производную Критическая точка: 0. Она не входит в область определения функции, но является граничной для нее. Область определения в этом случае естественным образом представляется объединением двух участков монотонности: D=(-∞,0)U(0, ∞) Исследуем направление монотонности с помощью таблицы
Итак, участки монотонности: (-∞, 0) – участок убывания функции (0, ∞) - участок убывания функции Из таблицы видно, что экстремумов функция не имеет Исследуем функцию на выпуклость. Для этого вычислим критические точки второго рода. Найдем производную второго порядка Критическая тока: x=0. Она делит область определения функции на те же два участка: D=(-∞, 0)U(0, ∞) Исследуем направление выпуклости с помощью таблицы
Итак, участки выпуклости: (-∞, 0) – участок выпуклости вверх (0, ∞) - участок выпуклости вниз Точка x=0 не является точкой перегиба, так как она не входит в область определения функции и в ней не существует производная второго порядка. Используя полученную информацию, построим график заданной функции Задача 3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . Решение. Находим производную функции: Находим точки, в которых производная равна нулю: Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку . Оба значения лежат в этом промежутке. Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка: Таким образом, Ответ. Тема: «Неопределенный интеграл и методы интегрирования» Цели: Образовательная: Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования. Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала. Воспитательная: Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования. Мотивация: Неопределённый интеграл имеет большое практическое применение. С его помощью можно вычислить: путь, пройденный точкой, работу переменной силы, силу давления жидкости и газа, координаты центра тяжести, массу стержня. Таким образом, интеграл принадлежит к числу математических понятий, происхождение и развитие которых тесно связано с решением прикладных задач. интегралы используются в физике для решения обратных задач ,по данной производной некоторой функции (скорости ее изменения) находят саму функцию. I Повторение и актуализация Производные. Нахождение скоростей и ускорений по заданным уравнениям перемещений А возможно ли проделать обратную операцию? 3) Связаны ли между собой производные и интегралы жүктеу/скачать 2,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|