Практикум по алгебре

14 
Задание
 11
1–17. 
Доказать
: 
1.
(
∀
A
)(
f 
[
A
∪
B
] 
=
f 
[
A
]
∪
f 
[
B
]). 
2.
(
∀
A
)(
f 
–1
[
A
∪
B
] 
=
f 
–1
[
A
]
∪
f 
–1
[
B
]).
3.
(
∀
A
)(
f 
–1
[
A
∩
B
] 
=
f 
–1
[
A
]
∩
f 
–1
[
B
]). 
4.
(
∀
A
)(
f 
–1
[
A
\
B
] 
=
f 
–1
[
A
]\
f 
–1
[
B
]). 
5.
(
∀
A
)(
f 
[
A
\
B
] 
⊃
f
[
A
]\
f
[
B
]). 
6.
(
∀
A
)(
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
∅
→
A
∩
B
=
∅
). 
7.
(
∀
A
)(
A
∩
B
=
∅
→
f 
–1
[
A
]
∩
f 
–1
[
B
] 
=
∅
). 
8.
(
∀
A
)(
f 
[
f 
–1
[
A
]] 
⊂
A
).
9.
f – 
инъекция
⇒
(
∀
A
)(
f 
–1
[
f 
[
A
]] 
=
A
). 
10.
f
– 
сюръекция
⇒
(
∀
A
)(
f 
[
f 
–1
[
A
]] 
=
A
). 
11.
 f
– 
сюръекци
я
⇒
(
∀
A
)(
A
⊂
f 
[
f 
–1
[
A
]]). 
12.
f
– 
инъекция
⇒
(
∀
A
)(
f 
–1
[
f 
[
A
]] 
⊂
A
). 
13.
f
– 
сюръекция
⇒
(
∀
A
)(
A
⊂
f 
[
f 
–1
[
A
]]). 
14.
f
– 
инъекция
⇒
(
A
∩
B
=
∅
⇒
15.
⇒
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
∅
). 
16.
f – 
сюръекция
⇒
(
f 
–1
[
A
]
∩
f 
–1
[
B
] 
=
17.
=
∅
⇒
A
∩
B
=
∅
). 
18.
(
f
: 
X
→
X
) 
∧
(
∀
A
)(
f 
[
A
] 
⊂
A
) 
⇒
f
=
X
ε
.
19.
(
f
: 
X
→
X
) 
∧
(
∀
A
)(
A
⊂
f 
[
A
]) 
⇒
f =
X
ε
. 
18–30. 
Для
функции
f
: 
R
→
R
определить
истинностное
значение
высказывания
: 
1.
f
(
x
) 
=
tg 
x
, (
∀
A
)(
f 
–1
[
f 
[
A
]] 
=
A
). 
2.
f
(
x
) 
=
x
2
, (
∀
A
)(
f 
[
f 
–1
[
A
]] 
=
A
). 
3.
f
(
x
) 
=
x
3
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
f 
[
A
∩
B
]). 
4.
f
(
x
) 
=
x
2
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
f 
[
A
]\
f 
[
B
] 
=
f 
[
A
\
B
]). 
5.
f
(
x
) 
=
sin 
x
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
f 
[
A
∩
B
]). 
6.
f
(
x
) 
=
2
x
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
f 
[
A
∩
B
]). 
7.
f
(
x
) 
=
log
2
x
, (
∀
A
)(
f 
–1
[
f 
[
A
]] 
=
A
). 
8.
f
(
x
) 
=
cos 
x
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
A
∩
B
=
∅
→
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
=
∅
). 
9.
f
(
x
) 
=
x
2
, (
∀
A
)(
∀
B
)(
f 
[
A
]\
f 
[
B
] 
=
f 
[
A
\
B
]). 
10.
f
(
x
) 
=
ctg 
x
, (
∃
A
)(
∃
B
)(
A
∩
B
=
∅∧
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
] 
≠
∅
). 
11.
f
(
x
) 
=
–
x
2
+3
x
–2, (
∃
A
)(
∃
B
)(
f 
[
A
∩
B
] 
≠
f 
[
A
]
∩
f 
[
B
]). 
12.
f
(
x
) 
=
x
2
, (
∃
A
)(
f 
–1
[
f 
[
A
]] 
≠
A
). 
13.
f
(
x
) 
=
x
4
, (
∃
A
)(
f 
[
f 
–1
[
A
]] 
≠
A
). 
Задание
12.
Доказать
методом
математической
индукции
. 
1.
1
2
– 2
2
+ 3
2 
–
4
2
+ ... + (–1)
n
-1
n
2
=
(–1)
n
–1
.
2
)
1
(
+
n
n
2.
(1–
4
1
)(1–
9
1
)(1–
16
1
) ...(1–
2
1
n
) 
=
n
n
2
1
+
, 
n
≥
2. 
3.
n
3
+(
n
+1)
3
+ (
n
+2)
3
M
9. 
4.
.
1
3
)
1
3
)(
2
3
(
1
...
7
4
1
4
1
1
+
=
+
−
+
+
⋅
+
⋅
n
n
n
n
5.
2
)
1
(
)
1
3
(
...
10
3
7
2
4
1
+
=
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
n
n
n
n
. 
6.
u
1
=
1, 
u
n
+1 
=
u
n
+ 8
n 
⇒
u
n
=
(2
n
–1)
2
. 
7.
7
n
+1
+ 8
2
n
–1
M
57. 
8.
1
2
+ 3
2
+ 5
2
+ ... + (2
n
–1)
2
=
.
3
)
1
2
)(
1
2
(
+
−
n
n
n
9.
3
2
n
+2
– 8
n – 
9 
M
64. 
10.
2
1
2
2
5
+
+
⋅
n
n
+
1
2
2
2
3
+
+
⋅
n
n
M
19. 

15 
11.
1
2
5
+
n
+
1
2
2
3
−
+
⋅
n
n
M
19. 
12.
n
2
7 – 
n
2
4
M
33. 
13.
1
1
2
2
5
+
−
⋅
n
n
+
1
2
1
2
3
−
+
⋅
n
n
M
19. 
14.
x
+
1
1
+ 
2
1
2
x
+
+ 
4
1
4
x
+
+ ... + 
n
x
n
2
1
2
+
=
1
1
−
x
+ 
.
1
2
1
1
2
+
−
+
n
x
n
15.
 
.
1
2
)
1
2
)(
1
2
(
1
...
5
3
1
3
1
1
+
=
+
−
+
+
⋅
+
⋅
n
n
n
n
16.
 
.
1
1
3
1
...
2
1
1
1
>
+
+
+
+
+
+
n
n
n
17.
 
2
2
1
+ 
2
3
1
+ ... +
2
1
n
<
n
n
1
−
(
n
> 1). 
18.
(1 + 
α
)
n
> 1 + 
n
α
(
n 
> 1, 
α
> –1). 
19.
–1 + 3 – 5 + 7 – ... + (–1)
n
(2
n
– 1) 
=
(–1)
n
n
⋅
. 
20.
2
1
⋅
+ 
3
2
⋅
+ ... + 
)
1
(
+
n
n
=
.
3
)
2
)(
1
(
+
+
n
n
n
21.
3
2
1
⋅
⋅
+ 
4
3
2
⋅
⋅
+ ... + 
n
(
n
+ 1)( 
n
+ 2) 
=
.
4
)
3
)(
2
)(
1
(
+
+
+
n
n
n
n
22.
2
1
2
⋅
+ 
2
2
3
⋅
+ ... + 
n
(
n
– 1)
2
+ (
n
+ 1)
n
2
=
.
4
3
1
1
3
2
1
⋅
⋅
+
+
+
)
n
)(
)(n
n(n
23.
k
! + 
!
k
k
⋅
+ (
k
+ 1)(
k
+ 1)! + ... + 
!
n
n
⋅
=
(
n
+ 1)! , (
k
< 
n
). 
24.
5
1
1
⋅
+ 
9
5
1
⋅
+ 
13
9
1
⋅
+ ... + 
)
1
4
)(
3
4
(
1
+
−
n
n
=
.
1
4
+
n
n
25.
4
3
+ 
36
5
+ ... + 
2
)
1
(
2
1
2
+
+
n
n
n
=
1 – 
.
2
)
1
(
1
+
n
26.
3
1
1
2
⋅
+ 
5
3
2
2
⋅
+ ... + 
)
1
2
)(
1
2
(
2
+
−
n
n
n
=
.
)
1
2
(
2
)
1
(
+
+
n
n
n
27.
5
3
1
1
⋅
⋅
+ 
7
5
3
2
⋅
⋅
+ ... +
)
3
2
)(
1
2
)(
1
2
(
+
+
−
n
n
n
n
=
.
)
3
2
)(
1
2
(
2
)
1
(
+
+
+
n
n
n
n
28.
!
1
0
+ 
!
2
1
+ ... + 
!
1
n
n
−
=
1 – .
!
1
n
29.
n
3
+ 11
n
M
6. 
30.
2
n
-1
(
a
n
+ 
b
n
) > (
a
+ 
b
)
n
, 
если
a
+ 
b
> 0. 

жүктеу/скачать 0,63 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: