Рис. 4.4. Уточнение корня комбинированным методом
Доказано, что . Следует обратить внимание на то, что на каждом шаге метод хорд применяется к новому отрезку . Если задать максимальное значение погрешности ε > 0, процесс уточнения значения корня продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие
. (4.19)
Пример 4.1. Вычислить с точностью до 0.0005 положительный корень уравнения
f(x) = x5 – x – 0.2 = 0.
На первом этапе отделения корней выбрали интервал [1.0, 1.1], на концах которого функция имеет противоположные знаки. Действительно,
f(1) = – 0.2 < 0, f(1.1) = 0.31051 > 0. В выбранном нами интервале f(x) > 0, f(x) > 0, то есть знаки производных сохраняются.
Применим комбинированный метод, приняв . По формулам (4.18) вычислим
.
Так как точность недостаточная (погрешность велика), вычислим следующие значения:
Таким образом, за два шага мы обеспечили требуемую точность.
Замечания
Вопросы для самопроверки
Какие точные методы решения нелинейных уравнений вы знаете?
Для чего нужен первый этап - отделение корней?
Сформулируйте условия существования решения уравнения. Являются ли эти требования необходимыми и достаточными?
Что можно сказать о точности методов половинного деления, хорд, касательных и комбинированного? По каким параметрам их еще можно сравнить?
В соответствии с известной теоремой на отрезке [a, b] существует решение. Всегда ли его можно найти методом половинного деления, методом хорд, и т.п.?
Достарыңызбен бөлісу: |
