Обсудим следующий вопрос: будет ли стремиться к нулю погрешность интерполирования f(x) – Ln(x), если число узлов n неограниченно увеличивать:
Свойства сходимости или расходимости интерполяционного процесса зависят как от выбора последовательности сеток, так и от гладкости функции f(x).
Известны примеры несложных функций, для которых интерполяционный процесс расходится.
Так последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции по равноотстоящим узлам на отрезке
[-1, 1], не сходится к функции ни в одной точке отрезка [-1, 1], кроме точек –1, 0, 1. На рис. 7.2 в качестве иллюстрации изображен график многочлена L9(x) при , построенного для функции по равноотстоящим узлам на отрезке [-1,1].
Рис. 7.2. Сходимость интерполяционных многочленов
Чтобы избежать этих некорректностей, в практике вычислений обычно избегают пользоваться интерполяционными многочленами высокой степени.
7.5. Задача обратного интерполирования
Пусть функция y = f(x) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x.
Для случая неравноотстоящих значений аргумента x0, x1,…, xn задача может быть непосредственно решена с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. В этом случае достаточно принять переменную y за независимую и написать формулу (аналог выражения (7.3)), выражающую х как функцию у:
. (7.10)
Можно также, считая у аргументом, использовать формулу Ньютона:
(7.11)
Достарыңызбен бөлісу: |
