Прикладная математика численные методы

жүктеу/скачать 1,04 Mb.

бет	7/34
Дата	06.03.2023
өлшемі	1,04 Mb.
	#71977
түрі	Учебное пособие

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 34

2.5. Вычисление определенных интегралов методами Монте–Карло

2.4. Формула Симпсона

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x_j, f(x_j)), где j = i-1; i-0.5; i, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.14)

Проведя интегрирование, получим:

(2.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке

[a, b] формула Симпсона примет вид

(2.16)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(2.17)
Тогда формула Симпсона примет вид
(2.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (2.19)

где h·n = b - a, . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O(h⁴).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

2.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными, то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла
(2.20)
При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

(2.21)
(2.22)

Здесь γ_i- случайное число, равномерно распределенное на интервале

[0, 1]. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.
На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

жүктеу/скачать 1,04 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 34

Прикладная математика численные методы

2.4. Формула Симпсона

2.5. Вычисление определенных интегралов методами Монте–Карло

2.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло