Федеральное государственное автономное образовательное учрежение высшего образования

 

311 

Данная  стохастическая  модель  представляет  собой  простейшую 

случайную последовательность. 

Сначала  рассмотрим  экономический  объект,  динамику 

жизненного  цикла  которого  характеризует  блуждание  этого 

экономического объекта по n несовместным состояниям 

1

s

, 

2

s

, …, 

n

s

.  Если  X

 

(

 

t

 

) 

‒

  это  случайный  процесс,  характеризующий 

динамику  жизненного  цикла  этого  экономического  объекта,  то 

запись  X

 

(

 

t

 

)

 



 

s

 i

  означает  событие,  состоящее  в  том,  что 

экономический  объект  в  момент  времени  t  находился  в  своем 

возможном  состоянии  s

 i

,  а  запись  P

 

(

 

X

 

(

 

t

 

)

 



 

s

 i

)  означает 

вероятность  данного  события.  Таким  образом,  X

 

(

 

t

 

) 

‒

  это 

случайная последовательность X

 0

 



 

X

 

(

 

t

 0

 

), X

 1

 



 

X

 

(

 

t

1

 

),…, а запись 

X

 k

 



 

s

 i

  означает  событие,  которое  состоит  в  том,  что 

экономический  объект  на  всем  промежутке  времени 





1

;



k

k

t

t

 

находился  в  своем  возможном  состоянии  s

i

,  где  t

0

 

‒

  начальный 

момент  времени,  t

 1

,  t

 2

,… 

‒

  моменты  времени,  в  которые 

экономический  объект  осуществляет  переход  из  одного  из 

возможных состояний в другое. Как обычно, состояния 

1

s

, 

2

s

, …, 

n

s

  могут  представлять  собой  соответствующие  числа  (или 

заданные  числовые  интервалы),  если  динамику  жизненного 

цикла  (каждую  стадию  жизненного  цикла)  экономического 

объекта  характеризует  изменение  выбранного  того  или  иного 

количественного  показателя  (например,  доход  или  прибыль, 

получаемые от реализации продукта, объем производства товара, 

объем  добычи  полезного  ископаемого),  а  могут  представлять 

собой  некоторые  качественные  состояния,  если  динамику 

жизненного цикла экономического объекта характеризует тот или 

иной качественный показатель (например, высокий, средний или 

низкий спрос на продукт). 

Введем следующие обозначения: 

p

 i 

(

 

t

 k 

)

 



 

P

 

(

 

X

 

(

 

t

 

)

 



 

s

 i 

) 

‒

  безусловная  вероятность  того,  что 

экономический  объект  в  момент  времени  t

 k

  находится  в  своем 

возможном состоянии s

 i

, где 

n

i

,

1



, k

 



 

0, 1, 2,…; 

 

 

 





k

n

k

k

t

p

t

p

t

;...;

1



p

 

‒

  вектор  вероятностей  возможных 

состояний в момент времени t

 k

, где k

 



 

0, 1, 2,…; 

 





i

k

j

k

k

j

i

s

X

s

X

P

t

p







1

 

‒

  условная  вероятность  перехода 

рассматриваемого  экономического  объекта  в  состояние  s

 j

  в 

 

312 

момент  времени  t

 k

,  если  известно,  что  в  предыдущий  момент 

времени  t

 k  1

  он  находился  в  состоянии  s

 i

,  где 

n

i

,

1



, 

n

j

,

1



, 

k

 



 

1, 2,…; 

 

 





k

j

i

k

t

p

t





 

‒

 

матрица 

вероятностей 

одношагового 

перехода в момент времени t

 k

, где k

 



 

1, 2,… 

Предположим,  что  случайный  процесс  с  дискретным 

временем,  характеризующий  динамику  жизненного  цикла 

экономического объекта, является цепью Маркова с дискретным 

временем,  т.е.  случайной  последовательностью  X

 0

 



 

X

 

(

 

t

 0

 

), 

X

 1

 



 

X

 

(

 

t

1

 

),…,  обладающей  Марковским  свойством  отсутствия 

последствия.  Это  свойство  заключается  в  следующем:  значение 

любой  условной  вероятности 

 

k

j

i

t

p

  зависит  только  от  того,  в 

каком  состоянии  экономический  объект  находился  в  момент 

времени  t

 k  1

,  и  не  зависит  от  того,  в  каких  состояниях 

экономический  объект  находился  в  предыдущие  моменты 

времени.  Таким  образом,  в  случае  цепи  Маркова  с  дискретным 

временем для условной вероятности имеем    





 

k

j

i

k

k

k

k

i

k

j

k

t

p

x

X

x

X

x

X

s

X

s

X

P























0

0

3

3

2

2

1

,...,

,

,

, 

где 

n

i

,

1



, 

n

j

,

1



,  k

 



 

1, 2,…,а 

2



k

x

, 

3



k

x

,…,  x

 0

 —  это  произвольные 

возможные состояния экономического объекта. 

Очевидно,  для  этих  вероятностей  выполняются  следующие 

свойства: 

1.

 

 

0



k

i

t

p

, 

n

i

,

1



; 

2.

 

 

1

1







n

i

k

i

t

p

, k

 



 

0, 1, 2,…; 

3.

 

 

0



k

j

i

t

p

, 

n

i

,

1



, 

n

j

,

1



; 

4.

 

 

1

1







n

j

k

j

i

t

p

, 

n

i

,

1



, k

 



 

1, 2,…; 

5.

 

 

 

 















n

i

k

j

i

k

i

k

j

t

p

t

p

t

p

1

1

, 

n

j

,

1



, k

 



 

1, 2,…; 

6.

 

           

 

k

k

k

k

t

t

t

t

t

t

t

























...

2

1

0

1

p

p

p

, k

 



 

1, 2,… 

Предположим 

дополнительно, 

что 

цепь 

Маркова, 

характеризующая  динамику  жизненного  цикла  экономического 

объекта,  является  однородной,  т.е.  значения  условных 

вероятностей 

 

j

i

k

j

i

p

t

p



, где 

n

i

,

1



, 

n

j

,

1



, k

 



 

1, 2,…, не зависят 

от  момента  времени  t

 k

,  при  этом  матрица  вероятностей 

 

313 

одношагового перехода в любой момент времени задается одной 

и той же числовой матрицей 

 

 

 

j

i

k

p

t













1

, а, следовательно, 

матрица  вероятностей  k-шагового  перехода  является  числовой 

матрицей 

 

 

 

k

k

j

i

k

p









, 

для 

которой 

выполняется 

   

 

k

k

k

t

t

t















0

1

p

p

p

. 

В  простейшем  случае  можно  выделить  два  принципиально 

разных  состояния  экономического  объекта:  первое  возможное 

состояние 

‒

  это  поглощающее  состояние  (т.е.  окончание 

применения  экономического  объекта;  в  маркетинге 

‒

  этап 

умирания),  а  второе  возможное  состояние 

‒

  это  развитие 

(существование)  экономического  объекта  (т.е.  использование 

экономического объекта). Таким  образом, теперь  будем считать, 

что  n

 



 

2.  В  этом  случае  матрица  вероятностей  одношагового 

перехода имеет вид 

 

 



































q

p

p

p

p

p

0

1

2

2

1

2

2

1

1

1

1

, 

(2) 

т.е. p

 1 1

 



 

1, p

 1 2

 



 

0, p

 2 1

 



 

p

 

>

 

0, p

 2 2

 



 

q

 

>

 

0, где p

 

+

 

q

 



 

1. Таким 

образом, 

первому 

возможному 

состоянию 

(окончанию 

применения 

экономического 

объекта) 

соответствует 

поглощающее  состояние  s

 1

,  а  второму  возможному  состоянию 

экономического 

объекта 

(его 

развитию) 

соответствует 

непоглощающее состояние s

 2

. 

Значения 

вероятностей 

многошаговых 

переходов 

экономического  объекта  характеризуют  значения  элементов 

матрицы вероятности k-шагового перехода: 

 

 

 

 

 

 

k

k

k

k

k

k

p

p

p

p

























2

2

1

2

2

1

1

1

. 

(3) 

В  связи  с  возможностью 

окончания  применения 

экономического  объекта  возникают  несколько  вопросов.  Во-

первых,  как  и  во  всех  моделях,  использующих  цепи  Маркова, 

важно  знать  финальные  (стационарные)  вероятности,  т.е.  знать 

предельное  поведение  вероятностей  возможных  состояний 

экономического объекта. 

Во-вторых,  нужно  выяснить  среднее  количество  шагов 

существования  экономического  объекта  до  момента  времени, 

когда  он  перейдет  в  поглощающее  состояние,  т.е.  когда 

окончится применение экономического объекта. 

 

314 

В-третьих,  полезно  найти  зависимости  значений  элементов 

матрицы  (3)  вероятностей  k-шагового  перехода  и  наименьшего 

возможного 

количества 

k

 

(

 

P

 

) 

шагов 

существования 

экономического  объекта,  для  которого  выполняется  неравенство 

 

P

p

k



1

2

,  где  P —  заданное  значение  соответствующей 

вероятности,  от  значений  элементов  матрицы  (2)  вероятностей 

одношагового перехода. 

В-четвертых,  возможно  ли  применение  теоретико-игрового 

подхода  к  этой  стохастической  (вероятностной)  модели 

жизненного  цикла?  И  если  это  возможно,  то  к  каким  выводам 

приведет применение этого подхода? 

Итак,  пусть  жизненный  цикл  экономического  объекта 

характеризуется  однородной  цепью  Маркова  с  дискретным 

временем,  при  этом  экономический  объект  может  находиться  в 

одном  из  двух  вышеупомянутых  своих  возможных  состояний,  а 

матрица (2) вероятностей одношагового перехода известна. 

Тогда согласно общепринятому подходу будем считать, что 

на  всем  промежутке  времени 





k

k

t

t

;

1



,  где  k

 



 

1, 2,…, 

экономический  объект  остается  в  одном  и  том  же  состоянии. 

Кроме того, без ограничения общности можно считать, что t

 k

 



 

k, 

где  k

 



 

0, 1, 2,…  Наконец,  единицей  времени,  т.е.  одним  шагом 

существования 

экономического 

объекта, 

будем 

считать 

конкретный период времени (например, месяц или год). Еще раз 

подчеркнем,  что  все  эти  предположения  не  ограничивают 

общности рассуждений. 

В  теории  случайных  процессов  особое  внимание  уделяется 

изучению  возможности  и  особенностей  предельного  поведения 

вероятностей  состояний  экономического  объекта,  что  позволяет 

проанализировать  эффективность  его  существования  (развития). 

Под  эффективностью  существования  экономического  объекта 

будем  понимать  возможность  этого  экономического  объекта 

продолжительный  период  времени  успешно  применяться  в 

соответствующей  сфере  деятельности.  В  частности,  необходимо 

выразить  значения  элементов  матрицы  (3)  через  значения 

элементов матрицы (2), а также выразить значение наименьшего 

возможного 

количества 

k

 

(

 

P

 

) 

шагов 

существования 

экономического  объекта,  для  которого  выполняется  неравенство 

 

P

p

k



1

2

, через значения элементов матрицы (2). 

 

315 

В  общем  случае  экономический  объект,  существование 

которого характеризует поглощающая однородная цепь Маркова 

с  дискретным  временем,  имеет  хотя  бы  одно  поглощающее 

состояние,  т.е.  такое  состояние,  попадая  в  которое, 

экономический  объект  остается  в  нем  навсегда  (собственно, 

процесс  его  существования  прекращается).  При  исследовании 

жизненного  цикла  экономического  объекта,  существование 

которого  характеризует  поглощающая  цепь  Маркова,  как 

правило, 

интерес 

представляют 

значения 

следующих 

показателей:  вероятность  перехода  экономического  объекта  в 

поглощающее  состояние  при  условии,  что  его  существование 

началось  из  непоглощающего  состояния;  среднее  значение 

времени пребывания экономическим объектом в непоглощающих 

состояниях  до  момента  перехода  его  в  некоторое  поглощающее 

состояние  при  условии,  что  его  существование  началось  из 

непоглощающего 

состояния; 

среднее 

количество 

шагов 

существования экономического объекта до момента перехода его 

в  некоторое  поглощающее  состояние  при  условии,  что  его 

функционирование началось из непоглощающего состояния. 

На  эти  вопросы  хорошо  известны  ответы,  которые 

используют  значения  переходных  вероятностей,  т.е.  значения 

элементов 

j

i

p

  матрицы 



  вероятностей  одношагового  перехода. 

При  этом  сами  значения  этих  элементов  этой  матрицы,  как 

правило,  оценивают  на  основе  имеющейся  статистической 

информации. 

Воспользуемся,  приведенными  выше,  общими  свойствами 

поглощающих  цепей  Маркова.  Очевидно,  при  n

 

=

 

2,  матрицы  Q, 

жүктеу/скачать 5,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: