Федеральное государственное автономное образовательное учрежение высшего образования

 

316 

условии,  что  существование  экономического  объекта  началось  с 

непоглощающего состояния: 

1

1

1











p

n

j

j

i

N

=

 

N

 

=

 

p

 –1

 шагов. 

Пользуясь определением произведения матриц, легко найти 

натуральную степень матрицы (2). Тогда для элементов матрицы 

(3) получаем: 

 

1

1

1



k

p

, 

 

0

2

1



k

p

, 

 

 

k

k

q

p



 1

1

2

, 

(4) 

 

k

k

q

p



2

2

. 

Из равенства (4) получаем, что вероятность перехода 

экономического объекта за k шагов его существования в 

поглощающее состояние 

1

s

 умирания равняется 

 

k

k

q

p



 1

1

2

. 

Очевидно, значение вероятности (4) перехода экономического 

объекта за k шагов его существования в поглощающее состояние 

s

 1

 умирания со временем возрастает, неуклонно приближаясь к 

числу 1. 

С учетом соотношений 0

 

<

 

q

 

<

 

1 получаем 

 

1

1

lim

lim

1

1













k

k

k

p

, 

 

0

0

lim

lim

2

1













k

k

k

p

, 

 





1

0

1

1

lim

lim

1

2



















k

k

k

k

q

p

, 

 

0

lim

lim

2

2













k

k

k

k

q

p

, 

 





























0

1

0

1

lim

lim

k

k

k

k

.  Очевидно,  вектор 

(1; 0)  является  левым  собственным  вектором  Фробениуса  [9, 

с. 160] матрицы (2) для собственного значения Фробениуса 

 

 



 

1 

этой матрицы. 

Итак,  предельная  вероятность  перехода  в  поглощающее 

состояние s

 1

 (в состояние умирания экономического объекта) при 

условии, что  существование экономического объекта  началось в 

непоглощающем состоянии s

 2

, равняется 

 

1

lim

1

1









k

i

k

p

p

. 

Если  задано  значение  вероятности  P,  где  0

 

<

 

P

 

<

 

1,  то  из 

равенства 

P

q

k





1

  получим,  что  наименьшее  возможное 

количество k

 

(

 

P

 

)  шагов  существования  экономического  объекта, 

для  которого  выполняется  неравенство 

 

P

p

k



1

2

,  равно  числу 

 

































q

P

P

P

k

q

ln

1

ln

1

log

,  где  ln

 

x —  натуральной  логарифм, 

 

317 

x —  значение  функции  потолка  действительного  числа  x  [10, 

11], т.е. x — это такое целое число, для которого выполняются 

неравенства x

 



 

1

 

<

 

x

 



 

x. 

Пусть P

 



 

0,5, тогда получаем следующую формулу: 

 

 







 























q

k

q

q

ln

5

,

0

ln

5

,

0

log

5

,

0

1

log

5

,

0

. 

(5) 

Если  считать  p

 



 

0,01,  то  получим  q

 



 

1

 



 

p

 



 

1

 



 

0,01

 



 

0,99, 

 

















99

,

0

ln

1

ln

P

P

k

,  при  этом  из  формулы  (5)  получаем 

 





69

9676

,

68

99

,

0

ln

5

,

0

ln

5

,

0















k

 

шагов. 

Результаты 

расчетов 

значений k

 

(

 

P

 

) для p

 



 

0,01 приведены в таблице 1. 

 

Таблица 1 

Расчеты значений k

 

(

 

P

 

) 

P 

0,1 

0,3 

0,5 

0,7 

0,9 

k

 

(

 

P

 

) 

11 

36 

69 

120 

230 

 

 

1.3.

 

Теоретико-игровой подход к вероятностной модели 

жизненного цикла 

  

Рассмотрим  антагонистическую  игру,  заданную  платежной 

матрицей (2). Седловая точка в этой игре отсутствует, поскольку 

значение  вероятности  умирания  должно  быть  ближе  к  числу  0, 

поэтому  справедливы  неравенства  0

 

<

 

p

 

<

 

0,5

 

<

 

q

 

<

 

1,  откуда 

получаем 



 



 

p

 

<

 

q

 



 



, где    

 

p

p

p

i

i

j

i

j

i













;

0

max

max

min

max

 —  нижняя  чистая  цена  этой 

игры,  

 

 

q

q

p

j

j

j

i

i

j













;

1

min

min

max

min

 —  верхняя  чистая  цена  этой 

игры. 

Найдем  решение  в  смешанных  стратегиях  этой  НАИ  по 

известным формулам для 2

 



 

2-игр [12, с. 65]: 

5

,

0

2

0

1

0

1

























q

q

q

p

p

q

V

, 

 

318 

q

p

q

p

q

q

p

p

q

p

























2

5

,

0

2

0

1

1

, 

q

p

p









2

5

,

0

2

, 

5

,

0

2

0

1

0

1



















q

q

q

p

q

q

, 

5

,

0

2





q

. 

Например, 

если 

p

 



 

0,01, 

то 

5

,

0

494949

,

0

99

49

99

,

0

2

01

,

0

5

,

0

1















p

 

и 

5

,

0

505050

,

0

99

50

99

,

0

2

01

,

0

5

,

0

2















p

.  Таким  образом,  для  значения 

вероятности  p

 



 

0,01  умирания  имеем 

5

,

0

2

1









p

p

  и 

5

,

0

2

1









q

q

, 

поэтому  для  любого  экономического  объекта  за  достаточно 

продолжительный 

период 

времени 

его 

существования 

вероятность его умирания можно оценить значением 0,5. 

Оптимальному 

решению 

























q

p

q

p

2

5

,

0

;

2

5

,

0

p

, 





5

,

0

;

5

,

0





q

, 

5

,

0







V

  этой  игры  можно  дать  следующую 

интерпретацию: за достаточно продолжительный период времени 

существования экономического объекта он с равными шансами (

5

,

0

2

1









p

p

 

и 

5

,

0

2

1









q

q

)  может  или  прекратить  свое 

существование, или продолжать успешно развиваться. 

 

1.4.

 

Свойства антагонистических игр, заданных 

стохастическими матрицами 

 

Стохастической  по  строкам  (по  столбцам)  матрицей 

будем 

называть 

неотрицательную 

квадратную 

матрицу 

R

 



 

R

 n  n

 



 

(

 

r

i j 

),  сумма  всех  элементов  каждой  строки  (столбца) 

которой равняется 1, т.е. выполняются соотношения r

i j

 



 

0, 

n

i

,

1



, 

n

j

,

1



, 

1

1







k

j

j

i

r

, 

n

i

,

1



 





















n

j

r

k

i

j

i

,

1

,

1

1

. 

Дважды 

стохастической  матрицей  будем  называть  матрицу,  которая 

является стохастической матрицей и по строкам, и по столбцам. 

Обобщенно  стохастической  по  строкам  (по  столбцам) 

матрицей  будем  называть  матрицу  R

 



 

R

 k  n

 



 

(

 

r

i j 

),  сумма  всех 

элементов каждой строки (столбца) которой равняется одному и 

тому же числу c

 



 

const, т.е. выполняются соотношения 

c

r

n

j

j

i





1

, 

 

319 

k

i

,

1



 





















n

j

c

r

k

i

j

i

,

1

,

1

.  Дважды  обобщенно  стохастической 

матрицей будем называть матрицу, которая является обобщенно 

стохастической матрицей и по строкам, и по столбцам. 

Очевидно,  если  обобщенно  стохастическая  матрица 

является квадратной матрицей, то за счет изменения масштаба ее 

легко  привести  к  соответствующей  стохастической  матрице. 

Частным  случаем  дважды  обобщенно  стохастических  матриц 

являются циклические матрицы (см., например, [13, с. 72-74] или 

[14, с. 28-29]

 

). 

Сформулируем  простейший  признак  существования  в  игре 

вполне 

смешанной 

ситуации 

равновесия 

в 

терминах 

стохастических матриц. 

Теорема 1.  Пусть  матрица  R

 



 

R

 k  n

 



 

(

 

r

i j 

)  не  содержит 

седлового 

элемента 

и 

является 

дважды 

обобщенно 

стохастической  матрицей.  Тогда  1) если  c

 



 

0,  то  k

 



 

n  и  в  игре, 

заданной  матрицей  R,  существует  вполне  смешанная  ситуация 

равновесия (

 

p



; q

 

), для которой оптимальные стратегии игроков 

имеют  вид 





















n

n

n

n

1

;...;

1

;...;

1

;

1

q

p

,  а  число 

n

c

V 



R

  является 

значением игры; 2) если c

 



 

0 и k

 



 

n, то в игре, заданной матрицей 

R,  существует  вполне  смешанная  ситуация  равновесия  (

 

p



; q

 

), 

для  которой  оптимальные  стратегии  игроков  характеризуют 

векторы 





















n

n

n

n

1

;...;

1

;...;

1

;

1

q

p

,  а  число 

0





R

V

  является 

значением игры. 

Доказательство. Пусть матрица R

 



 

R

 k  n

 



 

(

 

r

i j 

) не содержит 

седлового 

элемента 

и 

является 

дважды 

обобщенно 

стохастической  матрицей.  Тогда  если 















k

k

k

k

1

;...;

1

;...;

1

;

1

p

, 















n

n

n

n

1

;...;

1

;...;

1

;

1

q

,  то  для  этих  смешанных  стратегий  игроков 

ожидаемые выигрыши первого игрока равны 

k

c

r

k

k

r

p

r

V

k

i

j

i

k

i

j

i

k

i

i

j

i

j



























1

1

1

I

1

1

, 

n

j

,

1



, 

при этом ожидаемые проигрыши второго игрока равны 

 

320 

n

c

r

n

n

r

q

r

V

n

j

j

i

n

j

j

i

n

j

j

j

i

i



























1

1

1

I

I

1

1

, 

k

i

,

1



. 

Предположим,  что  c

 



 

0,  тогда  сумма  всех  элементов 

матрицы равняется 

c

k

c

r

r

k

i

k

i

n

j

j

i

k

i

n

j

j

i



























 













1

1

1

1

1

. Найдем эту же 

сумму  всех  элементов  матрицы,  поменяв  в  двойной  сумме 

порядок суммирования, т.е.    

c

n

c

r

r

r

n

j

n

j

k

i

j

i

n

j

k

i

j

i

k

i

n

j

j

i

























 



















1

1

1

1

1

1

1

.  Очевидно,  k

 



 

c

 



 

n

 



 

c.  С 

учетом  предположения,  что  c

 



 

0,  получаем  равенство  k

 



 

n.  В 

части  2)  теоремы  равенство  k

 



 

n  предполагается  справедливым. 

Далее  будем  считать,  что  c —  произвольное  действительное 

число,  k

 



 

n, 

















n

n

n

n

1

;...;

1

;...;

1

;

1

жүктеу/скачать 5,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: