Ғылыми конференцияның материалдары

125 
 
а) сабақ үстінде ақпарат қабылдау кезеңінде; 
ə) оқып-үйренген ақпаратты қолдану барысында; 
б) білім, білік, дағдыларының қалыптасу процесіне мұғалімнің бақылау жасау үдерісін-
де қалыптасады. 
Оқушылардың өзіндік іс-əрекеті дағдыларын қалыптастыру жұмысы оқытудың алғаш-
қы  күндерінен  бастап,  мұғалімнің  бақылау сұрақтары  бойынша  алынған  ақпаратты  оқушы-
лардың  қабылдауы  мен  қайта  жаңғыртуының  бастапқы  кезеңінде  жүргізіледі  Бастапқы  оқу 
кезеңінде оқушылар өз беттерінше материалды баяндалған мəліметтердің күрделілігі мен ма-
ңыздылығы дəрежесі бойынша бағалай білмейді. Сондықтан мұғалім оқытудың осы кезеңін-
де тақырыптың түйінді тұстарын анықтау үшін, бақылау сұрақтарының жүйесін ойластыруы 
қажет.  
Өзіндік іс-əрекетті қалыптастырудың нақ осы кезеңінде оқушылардан хабарланған (ай-
тылған) ақпаратты тікелей жаңғыртуға қатысты сұрақтарға өз бетінше жауап бере білуді та-
лап еткен жөн.  
Өзіндік  іс-əрекет  дағдыларын  қалыптастыруда  мұғалімнің  негізгі  əдісі  проблемалық 
əдіс болып табылады. Мұғалім құрастырған сұрақтар кері байланысты көздеуі тиіс, өйткені 
мұғалім өзі хабарлаған ақпаратты оқушылардың игеруі жөніндегі мəліметтерге біртіндеп қа-
нығып отыруы қажет. Сұрақтар проблемалық сипатты болып, оларды түрлі позициядан қара-
стыратындай болуы керек. Материалды игергендігі туралы толық ақпаратты оқу процесінің 
түрлі кезеңдерінде қойылатын сауалдардан байқауға болады. Өзіндік іс-əрекет, өзін-өзі бақы-
лау дағдыларын қалыптастыру мұғалім мен оқушының бірлескен іс-əрекетіне негізделеді. 
Оқушылардың білімдері мен біліктерін бағалау 
Бағдарламалық  материалды  игерудегі  мұғалім  мен  оқушылардың  бірлескен  іс-əрекеті 
кез-келген басқа да бір толыққанды іс-əрекет сияқты, бағдарлаушы, атқарушы жəне бақылау-
шы бөліктерден тұрады. Бақылаушы бөлігінде оқушылардың оқу материалын игеру сапасын 
анықтауда олардың білімдері мен біліктерін уақытылы диагностикалауда жəне түзетуде пай-
даланылатын ақпаратты үнемі алып отыруға мүмкіндік беретін „мұғалім - оқушы” жүйесінде 
кері байланыс орнығады. Басқаша айтқанда, бақылау барысында оқушылардың білімдері мен 
біліктері бағаланады. Бұл - оқу, тəрбие жəне дамыту жұмыстарын ойдағыдай басқаруға қа-
жетті мəліметтер алып, жинақтауға мүмкіндік береді.  
Бақылау үш типке бөлінеді: 
 Мұғалімнің оқушы іс-əрекетін сырттай бақылауы; 
 Оқушылардың өзара бақылауы; 
 Өзін-өзі бақылау. 
Сырттай бақылау оқушыларды оқу жұмысын үнемі адал орындап жүруге үйретеді. Оны 
одан сайын жақсылап істеуге итермелеп, ал мұғалім мақсатты түрде жұмыс істесе, өзара бақы-
лау жəне өзін-өзі бақылаудың дамуына жəрдемдеседі. Өзара бақылау кезінде оқушылар өзінен 
гөрі,  сыныптастарының  іс-əрекетін  бағалауға  жауаптырақ  қарайтын  болады.  Өзін-өзі  ба-
қылауды жүргізу өз іс-əрекетінің дұрыстығына көз жеткізуге, қатенің алдын алуға немесе жі-
берілген қателерді табуға бағытталады. Соңғысының оқыту процесіндегі маңызы ерекше. Мі-
не, сондықтан да жоғарыда атап өтілген кезеңдер арқылы өтетін білім жəне білікті игеру про-
цесін сырттай бақылаудан өзін-өзі бақылауға біртіндеп ауысу тұрғысынан да қарастырған жөн.  
Өзін-өзі бақылауды қалыптастыру процесін сұлба түрінде былайша бейнелеуге болады. 
 
№1 - сұлба. 
 
 
 
Сырттай бақылау 
Өзара бақылау 
Өзін-өзі бақылау 

126 
 
Математиканы оқытуда өзін-өзі бақылауды қалыптастыру ерекшелігін ескере отырып, 
осы процесті детальдау №2 - сұлбада келтіріледі. 
 
№2 - сұлба. 
 
 
Өзін-өзі  бақылауға  үйретуде  оқушылардың  бақылау  əрекеттерін  жүргізу  тəсілдерімен 
танысып, оларды меңгеруіне ерекше көңіл бөлген жөн. Бұл жерде біршама қиындықтар мұн-
дай  тəсілдердің  математиканы  оқыту  процесінде  көптеп  қолданылатындығына  байланысты 
болады. Оларды дұрыстап ажырату үшін, өзін-өзібақылау тəсілдерінің жіктелуін келтірейік: 
 Үлгімен (жауаппен) салыстырып тексеру; 
 Есептің шешімін қайталау;  
 Кері есеп шығару; 
 Алынған нəтижелерді есептің шарты бойынша тексеру; 
 Есепті түрлі тəсілдермен шешу; 
 Модельдеу; 
 Ізделінді нəтижелердің жуықтап бағасы; 
 Дербес жағдайда тексеру; 
 Алынған нəтижелерді жанама параметрлер бойынша сынау. 
Жіктеудің  негізінде  бақылаушы  əрекеттердің  ерекшелігін  бөліп  көрсету  принципі  жа-
тыр. Бұл, əсіресе, бақылау əрекеттерін жүргізгенде пайдаланылатын үлгілердің ролін айқын-
дауға септігін тигізеді. 
Шын мəнінде, белгілі бір нəтижеге жетіп, дайын үлгі (жауап) болған жағдайда, салыс-
тырып тексеру (өзін-өзі бақылаудың алғашқы тəсілін қолданып) арқылы алынған нəтиженің 
дұрыс я бұрыс екендігін анықтауға болады. Егер салыстырып тексеруге үлгі берілмесе , онда 
өзін-өзі бақылаудың басқа бір оңтайлы тəсілін (қайтадан шешу, жеке жағдайда шешу) пайда-
ланып, үлгі құрастыруға жəне соның көмегімен тексеруге болады. Сөйтіп, өзін-өзі бақылауда 
дайын немесе құрастырылған үлгімен салыстырып тексеру жетекші буын болып табылады. 
Жəне егер, мысалы, 5-сыныптың өзінде оқушылардың бір бөлігі орындалатын тапсырманың 
жауабы бар жағдайда үлгімен салыстырып тексеруді доғаратын болса, онда өзін-өзі бақылау-
ды, демек, оқушылардың өтілген материалды ұғынуды қалыптастыру жөніндегі мұғалімнің 
жұмысы бетіне жіберілген деп ұйғаруға болады.  
Сөйте тұра, біздің зерттеулеріміз көрсеткеніндей, өзін-өзі бақылаудың барлық аталған 
тəсілдеріне  қатысты  тексерулердің  əрқилы  түрлерін,  əсіресе 5-6 сыныптарда  үйреткен  жөн. 
Себебі бұл талап жас буын оқушылардың жас ерекшелітеріне толық сəйкес келеді. Осы се-
бепті олардың өзін-өзі бақылау жүргізу біліктерін тіпті өзін-өзі бақылау белгісі жоқта да ба-
қылау əрекеттері үнемі орындалатын деңгейге дейін жеткізген пайдалы. Сонда жасөспірім-
Сырттай бақылау
Оқушыларды өзін-өзі 
бақылауға итермелеу 
  Мұғалім-нің оқушылар-
дың іс-əрекетін тексеруі. 
  Оқушылардың өзара 
тексеруі 
  Оқушылардың  тексеруі 
  Өзін-өзі бақылау қажет-
тілігін қалыптастыру 
  Өзін-өзі бақылау 
тəсілдернің мəнін түсіндіру 
 
  Өз қателерінің себепте-
рін анықтау 
  Өзін-өзі тексеру 
  Оқушылардың  қателе-
рінің алдын алу 
Өзін-өзі бақылаудың 
тікелейдамуы 
Өзін-өзі бақылаудың 
жанамадамуы
 
Өзін-өзі бақылау 

127 
 
дердің,  жоғары  сынып  оқушыларының  өзін-өзі  бақылауының  тиімді  дамуы  мейілінше  шы-
найы болмақ.  
Осындай мақсатпен біз математика пəнінен оқушылардың өзін-өзі бақылауын дамытуға 
арналған тапсырмалар əзірледік. Ұсынылатын тапсырмалардың ерекше белгісі оларды сабақ 
үстінде шешу барысында өзін-өзі бақылауды дамыту мен оқушылардың өтілген материалды 
ұғынуы  өзара  байланысты  болады.  Жалпы,  бақылау  нысаналы,  объективті,  жан-жақты, 
ұдайы  жəне  дербес  болуы  тиіс.  Оның  нəтижелері  оқушылардың  білімдері  мен  біліктерінің 
бағдарламалық талаптарға сəйкестік дəрежесін білдіретін бағамен белгіленеді. Бұл сəйкестік 
бағалауды белгілеу мен тіркеудің баға деп аталатын цифр түрінде немесе басқа бір символ-
дық түрде бейнеленеді.  
 
Орындалатын жұмыс 
көлемі 
50%-ға 
дейін 
50%-дан 
75%-ға дейін
75%-дан 
90%-ға дейін
90% -дан 
100%-ға дейін қоса 
есептегенде 
баға 2 
3 
4 
5 
 
Мысалы, 10 тапсырмадан  тұратын  тестің  орындалу  нəтижелерін  бағалауға  арналған 
осы шкаланы пайдалана отырып ұйғарамыз: „3” деген бағаны оқушы 5,6 немесе 7 тапсырмА-
ны дұрыс орындаса, қоюға болады, „4” деген баға 9 немесе 10 тапсырманы орындаған оқу-
шыға қойылады. Орындалған жұмыс көлемін анықтау тəсілдері туралы мəселені толығырақ 
қарастырайық. Ол дұрыс шешілген тапсырмалар санының тест тапсырмаларының жалпы са-
нына пайыздық қатынасы ретінде есептелуі мүмкін. Тест құрамында 5 тапсырма бар делік. 
Онда  дұрыс  шешілген,  айталық,  бес,  төрт,  немесе  үш  тапсырма  тиісінше  бүкіл  жұмыстың 
100 %, 80% немесе 60%-ын құрайды. Егер бұл ретте жоғарыда келтірілген үш бағалау шкала-
сының кез-келгені пайдаланылатын болса, онда сəйкесінше „5”, „4”, „3” бағалары қойылады.  
Көпшілік жағдайларда орындалған жұмыс көлемін дəлірек өлшеу əр тапсырманы жəне 
тесті тұтастай балл арқылы бағалаудың көмегімен жүзеге асырылады.  
Бірден атап өтейік, барлық тапсырмаларды бірдей балл санымен бағалау бізді тағы да 
орындалған  жұмыс  көлемін  дұрыс  шешілген  тапсырмалар  бойынша  анықтау  тəсіліне  алып 
келеді.  
Əр тапсырманы оның шешіміне жетелейтін жəне тексеру жұмысының мақсатын бейне-
лейтін „елеулі операциялардың саны бойынша” балмен бағалауға болады.  
Өзін-өзі  бақылау  дағдыларын  қалыптастыру  процесінде  қатемен  жүргізілетін  жұмыс 
біршама  роль  атқарады.  Осы  қатемен  жұмыс  оқушылардың  білімдері  мен  біліктеріндегі 
проблемаларды еңсерудің бір формасы болып табылады. Білімді саналы қабылдауға оқушы-
ның  өзі  жіберген  əр  қатесіне  терең  талдау  жасауы  септігін  тигізеді.  Кез-келген  қате  əрбір 
ұғым, теорема, алгоритмнің мəнісіне тереңірек бойлау үшін пайдаланылуы тиіс. Қатемен жұ-
мыс  ұғымдарды  саналы  игерудің,  кейбір  ұғымдардың  ұсынылған  анықтамалары  ішінен  қа-
жетті əрі жеткілікті жағдайды көздейтін ең дəл анықтаманы таңдау біліктері мен дағдыларын 
қалыптастырудың пайдалы құралы бола алады.  
Қателермен жүргізілетін нысаналы жұмыс оқушылар жіберетін қателерді жүйелеуді та-
лап етеді. Шешуші рольді жекелеген қателер емес, пайда болу себептері ортақ, олармен жүр-
гізілетін  жұмыс  əдістемесі  ортақ  қателердің  топтары  атқаруы  тиіс.  Қателерді  осылайша 
жүйелеу оларды түзету, сонымен қатар қателердің алдын алу жолдарын белгілеу мүмкіндігін 
туғызады. Оқушылар көбіне жіберетін қателердің сипаты мынадай: берілген ұғымның елеулі 
жəне елеусіз белгілерін жеткілікті ұғынбауына байланысты; ұғымды анықтауға арналған қа-
жетті,  жеткілікті  шарттарды  жеткілікті  ұғынбауына  байланысты;  қисындық  салдар  ұғымын 
жеткілікті  ұғынбауына  байланысты;  теорема  құрылымын  түсінбеуіне  байланысты;  пікірлер 
конъюнкциялары  мен  дизъюнкцияларын  түсінбеуіне  байланысты;  тəуелділікті  түсінбеуіне 
байланысты;  ылдилай  жəне  өрлей  талдаулар  арасындағы  айырмашылықтарды  түсінбеуіне 
байланысты;  дəлелдеу  идеясын  математикалық  индукция  əдісімен  түсінбеуіне  байланысты 
қателер. 

128 
 
 Ұғымның көлемі мен мазмұнын түсінбеуіне, ұғым көлемінің тарылуына байланысты 
қателер. 
 Қасиеттер  мен  белгілерді  оқып-үйрену  кезінде  ұғымды  жалпылау  жəне  нақтылауға 
қатысты қателер. 
 Ұқсастықты, салыстыруды дұрыс пайдаланбау нəтижесінде туындайтын қателер. 
 Оқушылардың өін-өзі бақылау дағдылары жоқтығынан жəне тұрақсыздығынан жібе-
рілетін қателер. 
(Қарастырылған қателер толық көрсетілді деуге болмайды) 
Мұғалімнің қатемен жүргізетін жұмыс əдістері қандай? 
Олардың негізгілерін атап көрсетейік: 
 Жалпы жұмыс əдістері, 
 Оқушылардың өзін-өзі бағалау дағдыларын қалыптастыру . 
 Мұғалім-оқушы, оқушы-мұғалім – кері байланысты іске асыру. 
 Қателерді табуға жəне жіберілген қатенің мəнісін түсіндіре білуге үйрету.  
 Жаңа  материалды  оқып-үйрену  процесінде  қателерді  түзету  жəне  олардың  алдын 
алу. 
 Кездейсоқ қателермен жүргізілетін жұмыс. 
Оқып-үйренетін  материалды  түсінбеудің  нəтижесінде  туындаған  қате  кездейсоқ 
саналады.  
Сонымен, өзін-өзі тексеруді жүргізу өз іс-əрекеттернің дұрыс нəтижесіне қол жеткізуге, 
жіберілген қателердің алдын алуға немесе табуға бағытталған. 
Өзін-өзі бақылау дағдыларын қалыптастыру – мұғалімнің басқаруымен оқыту үрдісінің 
барлық сатыларында жүзеге асырылатын үздіксіз процесс. 
Сабақ үстінде тапсырмаларды орындау барысында өзін-өзі бақылау жəне оқушылардың 
оқып-үйренетін материалды ұғыну процестері өзара байланысты болып қалады.  
Тапсырмаларды  əрбір  нақтылы  сыныптың  дайындық  ерекшеліктерін  ескере  отырып 
құрастыру қажет. 
№1-тапсырма.8-сынып „Төртбұрыштар” 
1-суреттен: 
1) барлық параллелограмдарды: 
2) барлық тік төртбұрыштарды; 
3) барлық ромбтарды; 
4) барлық шаршыларды табу керек. 
 
 
1 – сурет. 
 
Иə” жауабына имек, „жоқ” жауабына сызықша қою керек. 
Əрбір оқушы 2 карточкадан алынады. Жауаптарының дұрыстығы үлгімен салыстырып 
тексеру жəне алынған нəтижелерді талдау арқылы жүзеге асырылады. 

129 
 
 
1а- сурет 
 
1 б-сурет 
 
№1-кесте (келесі файлда) 
 
Талдау үшін берілген сұрақтар: 
1) Қандай фигура үшін барлық төрт сұраққа имек белгіленген? Неге? 
2) Қай сұраққа имек (доға) көбірек, ал қайсысына азырақ белгіленген? Неге? 
Оқушылар оқып-үйренетін материалды терең ұғынуға бағытталған сұрақтарды түрлен-
діру мақсатымен,келесі тапсырманы ұсынуға болады. 
№ 2 –тапсырма.(2-сур.) 
Тапсырма нəтижелерін талдау, тексеру жəне орындау алдыңғыға ұқсас. 
Тапсырмаларды орындағанда, оқушылар төртбұрыштардың қасеттерін, белгілерін, анық-
тамаларын айыра білуді, ішкі диалогке түсуді, талдауды, жалпылауды, салыстыруды үйренеді. 
№3-тапсырма.Фалес  теоремасының  тұжырымдамасын  оқып-үйрену.  Кестемен  қатар 
орналасқан суреттер 2-7 жəне 11 тапсырмаларға бағдар болады. 1 жəне 12-тапсырмалар тео-
рема шарты орындалатын жағдаяттарды белгілейді. Осы кестенің көмегімен ұйымдастырыл-
ған,  теореманың  шарты  мен  қорытындысының  ара  қатынасын  игеруге  арналған  жұмыс  бе-
рілген теореманы қолдануда сақтықты тəрбилеу мақсатын көздейді.  
Жоғарыда келтірілген оқушылардың өздігінен орындайтын жұмыстарын ұйымдастыру 
формалары  оқушылардың  оқу  материалын  игеру  сапасын  анықтау  үшін  пайдаланылатын 
ақпаратты үнемі алу, олардың білім мен біліктілігін уақтылы болжау жəне түзету мүмкіндік-
терін туғызады.  
 
ƏДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
 
1.  Тригонометриядан тақырыптық тренинг – тест. 
2.  Тригонометриялық  өрнектерді  түрлендіру”  тақырыбы  бойынша  жүйелі  бақылау  үшін. 
Алгебра, 9-10 сынып.(Бекеттерге саяхат). 4 бекет. 
3.  Сұрақтар 
4.  Ауызша бақылау жұмысы 
5.  Талдау – тест 
6.  Лото. 
7.  8  сынып  геометриясы  бойынша  „Аудандар”  тақырыбы  бойынша  оқып-үйрену  процесінде 
жүйелі бақылау үшін. 
8.  «Натурал көрсеткішті дəреже» (7 сынып) тақырыбы бойынша қайталау түрлері.  
Тіктөртбұрыш 
Тіктөртбұрыш

130 
 
СТАНДАРТТЫ ЕМЕС АЛГЕБРАЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ  
ЖƏНЕ ОНЫ ОҚЫТУ ТЕХНАЛОГИЯСЫ 
 
A TECHNOLOGY OF EDUCATION AND SOLVING  
OF NON-STANDARD MATHEMATICAL PROBLEMS 
 
Өмірбаева Ə.М 
«№30 орта мектебі» ММ, Семей қаласы,Қазақстан. 
 
Қазіргі кездегі ғылым мен техниканың даму деңгейі əрбір оқушыда сапалы жəне терең 
білім мен іскерліктің болуын, олардың шығармашылықпен жұмыс істеуін, ойлауға қабілетті 
болуын талап етеді.  
Осы замандық математика пəні бойынша ғылыми жəне оқу - əдістемелік əдебиеттерде 
«стандартты емес есептер»
 жəне «стандарттан тыс сабақ» деген ұғымдық сөз тіркесі 
тұрақты түрде тұтынылып жүр. Біз зерттеуімізде осы екі ұғыми атауыш сөздің мазмұны мен 
мағынасын  есептер  шешу  арқылы  айқын  ашуға  тырыстық.  Математика  сабағында,  үйірме-
лерде оқушылардың ойлау қабілетін дамыту, ынтасын, қызығушылығын арттыру мақсатын-
да оқулықтағы əр түрлі деңгейдегі есептер мен қатар логикалық, стандартты емес есептерді 
шығарудың маңызы зор.  
Стандартты емес есептерге
 оларды есептеу үшін арнайы шешу алгоритімі жоқ есеп-
терді жатқызамыз. Ең қарапайым деген стандартты емес есепке мынадай мысалды көрсетуге 
болады: «Жаяу адам таңғы сағат 8 де А пунктінен В пунктіне бет алды. Ол В пунктіне қа-
шан жетеді?» 
Есептің ерекшелігі сонда, есептің берілуінде жаяу адамның жылдамдығы жə-
не А мен В пунктерінің арақашықтықтары көрсетілмейді. Жауабы да өзгеше болады: Жаяу 
адам белгілі бір сағаттардан ерте келмейді. 
Стандартты емес алгебралық есептерді есептеу-
дің ортақ теориясы жоқ. 
Стандарттан  тыс  есептер  тобына  математика  пəні  бойынша  ресми  бекітілген  оқу  бағ-
дарламаларында  жəне  оқулық – кітаптарда  көрсетілмеген  үлгідегі  есептерді  жатқызамыз. 
Сондай есептердің мысалы ретінде «тарихи хикаяттық есептер» жəне «зерек зерделілерге 
(интеллектуалдарға) арналған зерттеми есептер
» топтамасын атауға болады. Стандарт-
ты емес сабақтардың бүгінгі мектепте кең тараған ең танымал түрлері ретінде «математик-
тердің мұражайлық бөлмесіндегі сабақтар», «дидактикалық ойын сабақтары», «математика-
лық ойластыру (дискуссиялар) сабақтары», «іскер-ойын сабақтары», «зертханалық зерттеми 
сабақтар» жəне «бəйгелі бəсекелік сабақтар» легі жатқызылады. 
Математикада мəселе есептерді шешудің негізгі əдістері арифметикалық жəне аналити-
калық  əдістер.  Төменгі  сынып  оқушыларының  теңдеулермен  жұмыс  істей  алмауына  байла-
нысты математика есептерін шешудің аналитикалық əдісі сирек пайдаланылады, арифмети-
калық əдісі көбірек қолданылады. Стандартты емес есептерді шешу үшін жоғарыдағы əдіс-
терден басқа да əдістерді қолдануға болады. Олар графиктік жəне практикалық əдістер, таң-
дау тəсілі, біртіндеп немесе рационалды сұрыптау тəсілі, «жауапты ұйғару» тəсілі. Жоғарғы 
сыныптардағы стандартты емес теңдеулерді шешу тəсілдері: а) айнымалыларды көбейткіш-
терге жіктеу; ə) теңдеуге кіріп тұрған өрнектердің қасиеттерін зерттеу; б) теңдеудегі тұрған 
өрнектердің əр түрлі анықталу жиындарындағы қасиеттерін пайдалану. Есептеу барысында 
теңдеуге кіріп тұрған функциялардың кейбір қасиеттері қарастырылады, сонымен қатар қан-
дай да бір ұтымды амалдар қолданылады. Стандартты емес есептердің шешімі амалдардың 
тізбегі түрінде, сұрақ жауап түрінде келтіруі мүмкін.  
1-мысал.
 Су қатқанда өзінің көлемінің 
1
7
 бөлігіне ұлғаяды. Мұз суға айналғанда өз кө-
лемінің қанша бөлігіне азаяды? 
Шешуі.
 Кесінді саламыз жəне оны тең 7 бөлікке бөлеміз, сосын осы кесіндіні бір бөлік-
ке ұлғайтамыз. Суретке қарап есептің шешуін айта аламыз. Мұз қайтадан суға айналғанда өз 

131 
 
көлемінің 
1
8
 бөлігіне азаяды. 
Есепті осылай шешу əдісі графиктік əдіс деп аталады. Кейбір стандартты емес есептер-
ді сурет, схемалар немесе кестелерді қолдану арқылы шешуге болады. Мұндай тəсілді прак-
тикалық тəсіл деп атайды. 
2-мысал.
 Жалпы саны сегізге тең сиыр мен қойға 26 кг бидай берілді. Бір сиырға 4 кг, 
ал бір қойға 2 кг бидай берілді. Қанша сиыр жəне қанша қой бар? 
Шешуі
.  Қосындысы 8-ге  тең  сандардың  барлық  қостарын  қарастырамыз,  яғни  толық 
индукция əдісін қолданамыз, əрбір жағдай үшін берілетін мүмкін бидай шамасын табамыз. 
Қосындысы 26-ға тең болғандағы сандар қосы жауабы болады.  
Жауабы: 3 қой, 5 сиыр. 
Қой 
Сиыр 
Бидай 
Жауап 
0 8 
2 0 4 8 > 26
⋅ + ⋅
 
- 
1 7 
2 1 4 7 > 26
⋅ + ⋅
 
- 
2 6 
2 2 4 6 > 26
⋅ + ⋅
 
- 
3 5 
2 3 4 5 26
⋅ + ⋅ =
 
+ 
4 4 
2 4 4 4 < 26
⋅ + ⋅
 
- 
5 3 
2 5 4 3 < 26
⋅ + ⋅
 
- 
6 2 
2 6 4 2 < 26
⋅ + ⋅
 
- 
7 1 
2 7 4 1 < 26
⋅ + ⋅
 
- 
8 0 
2 8 4 0 < 26
⋅ + ⋅
 
- 
 
3-мысал.Теңдеуді шешіңіз: 
sin
1 sin
4
2
cos
2
0
y
x
x
xy
+
−
⋅
+
=
 
Шешуі:
  Берілген  теңдеуді 
sin
2
x
z
=
  қарағанда  квадрат  теңдеу  деп  қарастырайық. 
Сонда келесі теңдікті аламыз: 
2
2
2 cos
2
0
4cos
4 2
y
y
z
z
xy
D
xy
−
+
= .   
=
− ⋅
. 
Теңдеудің  шешімі  болу  үшін,  дискриминант  оң  болу  керек. 
2
1 cos
1
y
xy
≥ ,   
≤
 
болғандықтан, онда 
2
4 cos
4 2
0
y
xy
− ⋅
≤
. Бұл жағдайда дискриминант теріс болады. Соны-
мен, келесі екі шарт орындалу үшін: 
0
D
≤
 жəне 
0
D
≥
, квадрат теңдеудің дискриминанты 
нольге тең болуы тиіс. Ал бұл 
2
cos
1
xy
=
жəне 
2
1
y
=
 болғанда ғана мүмкін жағдай. Екінші 
теңдіктен 
алатынымыз: 
0
y
=
. 
Сонда 
квадрат 
теңдеудің 
түбірлері 
болады:
cos
cos 0 1
z
xy
=
=
=
. Сонда 
sin
2
1
x
=
, бұдан 
sin
0
x
=
, бұдан
x
n n Z
π
=
,    ∈
. 

жүктеу/скачать 4,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: