Ғылыми-практикалық конференциясының материалдары
жүктеу/скачать 7,58 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема 2
| Анықтама 2 Егер а және b сандары үшін сондай k натурал саны бар болып a+k=b
(k≠0) болса, онда “a кіші b” деп айтылады және a < b көрінісінде жазылады.
Егер “a кіші немесе тең b” болса, онда a ≤ b символымен жазылады (a < b немесе a = b). Бұл қатнасқа кері қатынастар a > b (a ≥ b) көрінісінде белгіленеді. Теорема 2 Ұйғарайық Z= 1)
a,b бүтін сан үшін a < b, a = b, a > b теңсіздіктердің біреуі орындалады. 2)
Z бүтін саны үшін келесі үш шарттардың біреуі орындалады: a<0, a=0, a>0.
3) < қатынас қосу амалына қатысты монотон, яғни a,b және бүтін сандары үшін a < b сонда тек сонда , егер a+c < b+c.
4) < қатынас көбейту амалына қатысты монотон, яғни a,b,с бүтін сандары үшін егер a < b және c > 0 болса, онда ac < bc.
368
Қалдықпен бөліну теоремасы. Ұйғарайық а бүтін сан болып в – натурал сан болсын және b≠0. Егер сондай q және z бүтін сандары табылып a = bq+z, (0 ≤ z < b) теңдігі орындалса а саны b санына z қалдықпен бөлінеді деп айтылады. q – бөлінді, z – қалдық деп айтылады. Мұндай q және z санының жалғыз екендігін келесі теорема дәлелдейді. Теорема
a,b бүтін сандары үшін (b>0) жалғыз q және z сандары бар болып a=bq+z 1 теңдігі орындалады, мұнда 0 ≤ z < b. Дәлелдеу 1 – теңдікті қанағаттандыратын кемінде бір q,z сандары бар екендігін дәлелдейміз. а – натурал сан болсын. b санды аламызда а бойынша индукцияны қолдаймыз, яғни 1-ді қанағаттандыратын q,z саны бар екендігін дәлелдейміз. a = 0 үшін q,z бар. Шынында 0 = b·0+0.
Ұйғарайық n үшін q,z бар болсын, яғни n=bq+z және 0 ≤ z < b. Онда теорема a=n+1 үшін орынды екендігін дәлелдейміз. 2-ден n+1=bq+(z+1) және 0
Егер z+1 қарастырамыз. Онда –а > 0 болады. Дәлелденгеніне қарағанда –а және b сандары үшін – а=bq'+z' теңдігін қанағаттандыратын q' және z' сандары бар болып 0 ≤ z' < b'.
Егер z'=0 болса, онда a=b(-q')+0. Егер z'=0 болса, онда a=b( -q' – 1)+(b - z') және 0 ≤ b-z' < b. q=-q'-1 және z=b-z' деп белгілесек
a=bq+z және 0 < z < b. Демек,
a,b (b>0) сандары үшін 1 – теңдікті қанағаттандыратын q,z сандары бар екен. 1 – көрініс екеу болсын: 3) a=bq+z, 0 ≤ z < b; 4) a=bq
1 +z 1 , 0 ≤ z 1
Ұйғарайық, z ≠ z 1 болсын. Онда z > z 1 немесе z 1 > z. Егер z > z 1 болса, онда және 4-тен 5) 0 < z - z 1 ≤ b; 6) z - z 1 =b(q 1 -q)
5 және 6 дан q 1 -q > 0 екендігі келіп шығады, демек q 1 -q ≥ 1. 6 дан z - z 1 ≥ b екендігі келіп шығады, бұл 5 ке қайшы. Дәл осылай z 1 > z екендігін дәлелдеуге болады. Демек, z = z 1
және 3, 4-тен b(q- q 1 )=0. b≠0 болғандықтан q - q 1 = 0 немесе q= q 1 .
жүктеу/скачать 7,58 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|