Тақырыбы: Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар

  Бұрыш  синусының  қасиеттерін  пайдалана  отырып, 

x

у

sin



  функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 





1

;

1



; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г)  функция  әрбір 











k

k

х

k

,

2

2





  үшін  ең  кіші 

1





у

  мәнін  және 









m

m

х

m

,

2

2





 үшін ең үлкен 

1



у

 мәнін қабылдайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



2

; 

е) функция тақ. 

ж)  функция  барлық  анықталу  облысында  монотонды  болмайды,  бірақ 

функция  әрбір 























k

k

k

,

2

2

,

2

2









,  аралығында  өседі,  және  әрбір 





















k

k

k

,

2

2

3

,

2

2









 аралығында кемиді. 

  

 

        

 

 

сosx

у 

. Косинусоида. 

 Бұрыш косинусының қасиеттерін пайдаланып, 

сosx

у 

 функциясының келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 





1

;

1



; 

в) функция төменнен және жоғарыдан шектелген; 

г)  функция  әрбір 









k

k

х

k

,

2





-да 

1





у

  ең  кіші  мән  қабылдайды  және 







m

m

х

m

,

2



-да 

1



у

 ең үлкен мән қабылдайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



2

; 

е) функция жұп. 

ж)  функция  барлық  анықталу  облысында  монотонды  болмайды,  бірақ 

функция  әрбір 





k

k







2

,

2



  аралығында  өседі, 





k

  және  функция  әрбір 













k

k 2

,

2

 аралығында кемиді, 





k

. 

з) 

Oy

  осімен  қиылысу  нүктесі  - 

 

1

;

0

, 

Ox

  осімен  қиылысу  нүктелері  шексіз 

көп, әрбір 















0

,

2

k





 нүктесі 

Ox

 осімен қиылысу нүктесі, мұндағы 





k

. 

    Периодтылығын ескеріп, 

сosx

у 

 функциясының графигін, косинусоиданы 

тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

tgx

у 

.Тангенсоида. 

       Бұрыш  тангенсі  қасиеттерін  пайдалана  отырып, 

tgx

у 

  функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 











k

k

х

k

,

2





-дан өзге кез-келген 

х

 ; 

б) өзгеру облысы: 









 ;

; 

в) функция шектелген емес; 

г) функция ең кіші мәнде, ең үлкен  мәнде болмайды; 

д) функция периодты, басты периоды 



; 

е) функция тақ. 

ж)  функция  барлық  нақты  сандар  облысында  монотонды  болмайды,  бірақ 

келесі 

















2

,

2









k

k

 мұндағы 





k

, аралықтардың әрқайсысында өседі.   

з)  Координаталар  осімен  қиылысу  нүктелері  - 





0

;

m



  нүктелері,  мұндағы 





m

.  

   Периодтылығын  ескеріп,  тангенсоида  деп  аталатын 

tgx

у 

  функциясы 

графигін тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

 

сtgx

у 

.Котангенсоида. 

       Бұрыш котангенсі қасиеттерін пайдалана отырып, 

сtgx

у 

 функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 







m

m

х

k

,



-нан өзге кезкелген 

х

 ; 

б) өзгеру облысы: 









 ;

; 

в) функция шектелген емес; 

г) функция ең кіші мәнде, ең үлкен  мәнде болмайды; 

д) функция периодты, басты периоды -



; 

е) функция тақ. 

ж)  функция  барлық  нақты  анықталу  облысында  монотонды  бола  алмайды, 

бірақ функция  











m

m

m

,

,







  аралықтарының әрқайсысында кемиді.   

з)  Координаталар  осімен  қиылысу  нүктелері  - 















0

;

2

m





  нүктелері,  мұндағы 





m

.  

   Функцияның  периодтылығын  ескере, 

сtgx

у 

  функциясының  графигі  - 

котангенсоиданы тұрғызуға болады. 

 

 

 

 

 

Негізгі кері тригонометриялықфункциялар. 

arcctgx

y

arctg

y

x

y

x

у









,

,

arccos

,

arcsin

 

функциялары 

негізгі 

кері 

тригометриялық функциялар деп аталады. 

 

 

x

у

arcsin



 кері тригонометриялықфункциясы. 

 

x

у

arcsin



  функциясы  қасиеттері  (санның  арксинусы  қасиеттерін  пайдалана 

аламыз): 

а) анықталу облысы: 





1

;

1



; 

б) өзгеру облысы: 















2

;

2





; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г)  функция 

1





x

болғанда 

2







у

  ең  кіші    мәнді  қабылдайды  және 

1



x

 

болғанда 

2





у

 ең үлкен  мәнді қабылдайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция тақ. 

ж) функция барлық анықталу облысында өседі.  

 

 

x

у

arccos



 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның  арккосинусы  қасиеттерін  пайдалана,

x

у

arccos



  функциясының 

келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 





1

;

1



; 

б) өзгеру облысы: 







;

0

; 

в) функция жоғарыдан және төменнен шектелген; 

г)  функция 

1





x

болғанда 





у

  ең  үлкен  мәнін, 

1



x

 болғанда 

0



у

  ең  кіші 

мән қабылдайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция жұп та, тақ та емес. 

ж) функция барлық анықталу облысында кемиді.   

з) 













2

;

0



 және 

 

0

;

1

 нүктелері - координаталар осьтерімен қиылысу нүктелері.   

 

 

 

 

 

 

 

arctgx

у 

 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның  арктангенсі  қасиеттерін  пайдалана,

arctgx

у 

  функциясының  келесі 

қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 















2

;

2





; 

в) функция төменнен де, жоғарыдан да шектелген; 

г) функция  ең үлкен, ең кіші мәндерінде болмайды; 

д) функция периодты емес. 

е) функция тақ. 

ж) функция өзінің барлық анықталу облысында өседі.   

з) 





0

;

0

 нүктесі - координаталар осьтерімен жалғыз қиылысу нүктесі.  

 

 

 

 

  

arcctg

у 

 кері тригонометриялықфункциясы. 

   Санның 

арккотангенсі 

қасиеттерін 

пайдалана 

отырып,

arcctgx

у 

 

функциясының келесі қасиеттерін аламыз: 

а) анықталу облысы: 









 ;

; 

б) өзгеру облысы: 







;

0

; 

в) функция төменнен де, жоғарыдан да шектелген; 

г) функция  ең үлкен, ең кіші мәндерінде болмайды; 

д) функция периодты болып табылмайды. 

е) функция тақ та, жұп та емес. 

ж) функция өзінің барлық анықталу облысында кемиді.   

з) 













2

;

0



нүктесі - координаталар осьтерімен жалғыз қиылысу нүктесі.  

 

 

 

     №15,16  практикалық сабақ  

Тақырыбы: Мектеп математика курсында туындыны оқыту. 

Практикалық сабақ мақсаты:  Мектеп математика курсында туындыны оқыту 

әдістемесін беру, оқыту технологиясын түсіндіру.                  

Анықтама.    Егер  мына  шек   

0

x

y

Lim

x

 





  бар  болса,  онда  оны 

( )

y

f x



 

функциясының 

0

x

 нүктесіндегі туындысы деп атайды және оны 

/

/

0

0

( ),

( ),

dy

f

x

y x

dx

 деп белгілейді.  

Функцияның  туындысын  табу  амалын  дифференциалдау  деп 

атайды.Туындының геометриялық мағынасы 

Анықтама.  Егер берілген түзу ОХ өсімен қиылысатын болса, онда осы түзу 

мен  абсцисса  өсі  арасындағы  бұрыштардың  кішісін  ол  түзу  мен  абсцисса 

өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш деп атайды. 

( ; )

a b

  аралығында  анықталған 

( )

y

f x



  функциясының  графигінің 

бойында орналасқан 

0

0

0

0

( ;

),

(

,

)

M x y

P x

x y

y

 

 

 нүктелерін қарастырайық. 

М және Р нүктелері арқылы өтетін түзуді 

( )

y

f x



 функциясы графигінің  

0

0

( ;

)

M x y

 нүктесіндегі қиюшысы деп атайды. 

 МР  қиюшысы  мен  абсцисса  өсі  арасындағы  бұрышты 

(

)

x





  деп 

белгілейік. 

0

0

( ;

)

M x y

  нүктесінен  өтетін  MS  түзуі  мен  абсцисса  өсі 

арасындағы бұрышты 

0



 деп белгілейік. 

Анықтама.  Егер мына шарт 

0

0

(

)

x

Lim

x





 





 орындалса, онда MS түзуі 

( )

y

f x



 

функциясы графигінің 

0

0

( ;

)

M x y

 нүктесіндегі жанамасы деп аталады. 

Теорема.    Егер 

( )

y

f x



  функциясының 

0

x

  нүктесінде  туындысы  бар 

болса,  онда,  біріншіден, 

( )

y

f x



  функциясы  графигінің 

0

0

( ; ( ))

M x

f x

 

нүктесінен  өтетін  жанамасы  болады;  екіншіден,  бұл  жанаманың  бұрыштық 

коэффициенті 

/

0

(

)

k

f

x



, мұндағы 

0

k

tg





. 

 

 

                              

                             у                                   Р 

                    

0

y

y

 

 

 

 

S 

                                 

0

y

 

       М       

0



   

 

 

   

           

(

)

x





 

 

х 

 

                  a               0               

0

x

            

0

x

x

 

 

b 

 

Туындының механикалық мағынасы 

Егер 

( )

y

f x



  функциясы  материалдық  нүктенің  түзу  бойымен  қозғалу 

заңдылығын 

сипаттайтын 

болса, 

онда 

функция 

туындысы 

/

0

(

)

f

x

материалдық  нүктенің 

0

t

x



  уақыт  мезгіліндегі  лездік  жылдамдығын 

анықтайды. 

№17,18  практикалық сабақ  

Тақырыбы: Мектеп математика курсында алғашқы функцияны, 

интегралды оқыту. 

Практикалық сабақ мақсаты:  Мектеп математика курсында алғашқы 

функцияны, интегралды оқытудың әдістерін түсіндіру, қазақ тілінде термин 

сөздерді беру. 

Интеграл  ұғымының  тарихы  квадратураларды  табу  есептерімен  аса 

тығыз  байланысты.  Қандай  да  болмасын  жазық  фигураның  квадратурасы 

туралы  есептер  деп  Ежелгі  Греция  мен  Римнің  математиктері  қазір  өзіміз 

аудандарды  есептеп  шығаруға  берілген  есептерге  жатқызып  жүрген 

есептерді айтқан-ды. Латын сөзі quadratura деген квадрат пішінге келтіру деп 

аударылады. 

    Мына 



  символды  Лейбниц  (1675  ж)  енгізген.  Бұл  таңба  латынның  S 

әрпінің (summa сөзінің бірінші әрпі)өзгерген түрі. Интеграл деген сөздің өзін 

Я.Бернулли 1690 жылы ойлап шығарған. Шамасы оның шығу тегі латынның 

integro  сөзіне  саятын  болар,  оның  мағынасы:  бұрынғы  қалпына  келтіру, 

орнына  түсіру.  (Шыныда  да  ,  интеграл  астындағы  функция  шығарып 

алынатын  дифференциалдау  арқылы  итегралдау  амалы  функцияны  қалпына 

келтіреді.)  Интеграл  терминінің  шығу  тегі  өзге  болуы  да  мүмкін:  integеr 

деген сөз бүтін дегенді білдіреді. 

   Я.Бернулли  мен  Г.Лейбниц  хат-хабар  алыса  жүріп,  Я.Бернуллидің 

ұсынысымен  келіскен  болатын.  Сол  1696  жылы-ақ  математиканың  жаңа 

тармағының  атауы  –  интегралдық  есептеу(calculus  integralis)  пайда  болды  , 

мұны Я.Бернулли енгізді.  

   Интегралдық  есептеуге  қатысты  өздерің  білетін  басқа  терминдер  біршама 

кейін  пайда  болды.  Қазір  қолданып  жүрген  алғашқы  функция  атауы  көп 

ертеректе қарапайым функция дегеннің орнын басты, мұны енгізген Лагранж 

(1797ж). 

Латын 

сөзі 

primitivus 

«бастапқы 

деп 

аударылады: 







)

(

)

(

)

(

x

f

dx

x

f

x

F

  үшін  бастапқы  (немесе  ең  бастапқы,  немесе  алғашқы), 

бұл Ғ(х)-ті дифференциалдаудан шығады. 

   Қазіргі  әдебиетте  f(x)  функциясы  үшін  барлық  функциялардың  жиыны  да 

анықталмаған интеграл деп аталады. Бұл ұғымды айырып көрсеткен Лейбниц 

еді,  ол  барлық  алғашқы  функциялардың  бір-бірінен  айырмашылығы 

қалауымызша  алынатын  тұрақты  сан  екенін  аңғарған  болатын.  Ал 



b

a

dx

x

f

)

(

 

анықталған  интеграл  деп  аталады(белгілеулерді  енгізген  К.Фурье,  бірақ 

интегралдау шектерін Эйлер көрсеткен). 

   Бұл  тақырыпты  оқымас  бұрын  оқушыларға  белгілі  дәрежелік  функция, 

квадрат  түбір,  негізгі  тригонометриялық  функциялардың  дифференциалдық  

формулаларын еске түсірген пайдалы. 

   Бұл  пункттің  басында  алғашқы  функция  түсінігін  беру  үшін  механикадан 

мысал  келтірген.  Бұл  кездейсоқ  емес:  дифференциалдық  және  интегралдық 

есептеулер физикада және механикада маңызды роль атқарады. f функциясы 

үшін алғашқы функция осы f функциясы анықталатын аралықта берілгеніне, 

алғашқы 

F 

функциясы 

осы 

аралықтың 

әрбір 

нүктесінде 

дифференциалданатындығынан  оқушылар  назарын  аудару  қажет.  Бұл 

тақырыпты оқывту үшін екі сағат беріледі. 

1-сабақта:  осы  тақырып  бойынша  теориялық  материалдар  оқытылады  және 

есептер шығарылады. 

2-сабақта: есептер шығарылады және өзіндік жұмыс өткізіледі. 

   Жаңа  материалды  түсіндіру  үшін  механиканың  мынадай  мысалдарын 

қолдануға болады:1) (t

1,

t

2

) уақыт аралығында дене тыныштық күйде болсын , 

оның  жылдамдығы  кез  келген  уақыт  моментінде  0-ге  тең  екендігі  белгілі. 

Оны  былай  дәлелдеуге  болады:  Дененің  координатасы  x(t)  тұрақты, 

сондықтан 

0

)

(



 t

x

. 

2)  Кез-келген  уақыт  моментінде  дене  жылдамдығы  0-ге  тең  екендігі  белгілі 

болсын,  онда  дене  тыныштық  күйде  болады.  Яғни  оның  координаталары 

тұрақты.  Бір  сөзбен  айтқанда  егер  x(t)  функциясының 

)

(t

x

  туындысы  (t

1,

t

2

) 

аралығында  0-ге  тең  болса,  онда  x(t)  тұрақты.  Олай  болса,  «механикалық» 

түсініктер функцияның тұрақтылық белгілеріне әкеледі.  

   Осы  пунктте  келтірілген  белгілер  жеткілікті  емес,  бірақ  берілген  аралықта 

функция  тұрақтылығының  қажетті  шарттары  берілетіндігін  түсіну  оңай. 

Қажеттіліктің дәлелдеуі көрініп тұр: Егер 

C

x

F



)

(

 болса, онда 

0

)

(



 x

f

 

C

x

F



)

(

  түріндегі  алғашқы  функциядағы  С  тұрақты  сан  кез-келген  мәнге  ие 

бола  алады.  Бұл  тұрақтыны  табу  үшін  ,  яғни  берілген  аралықта  f 

функциясының  F  алғашқы  функциясын  табу  қажет.  F  функциясы  жөнінде 

қосымша  мәліметтер  қажет:  Нақты  жағдайда  алғашқы  функция  бірмәнді 

анықталады.  Кез-келген  екі  алғашқы  функция  графиктері  Оу  осіне  қатысты 

бір-біріне  параллель  орналасады:  Егер  алғашқы  функциялар  графиктерінің 

біреуін  Оу  осіне  параллель  жылжытсақ,  онда  осы  жазықтықтың  берілген 

нүктесі  арқылы  өтетін  графиктің  бір  ғана  орны  табылады.  х

0

  нүктесі  Ф 

алғашқы  функциясының  ізделінді  Ф(х

0

)  мәні  және  f  функциясы  үшін  F 

алғашқы  функцияның  біреуі  белгілі  болса,  алғашқы  функция  негізгі  қасиеті 

бойынша  

                                 Ф(х)=F(x)+C 

С-ны  табу  үшін  x=x

0

  теңдігін  қояйық,  онда  Ф(х

0

)=F(x

0

)+C,  бұдан  С=  Ф(х

0

)- 

F(x

0

). Жоғарда көрсетілгендей f функциясына алғашқы функция анықталатын 

аралық  интегралдық  есептеулерді  оқуда  маңызды  роль  атқарады.  Мектеп 

курсында  оқытылатын  барлық  функциялар  үшін  мұндай  аралықтар  f 

функциясының  үздіксіздік  аралықтарымен  сәйкес  келеді. 

x

x

2

2

sin

1

&

cos

1

 

функциялары  үшін  алғашқы  функциялар 





k

k

k

k















































;

&

2

;

2

, 

Z

k 

 аралықтарының әрқайсысында анықталады. 

   Оқытушыға мынаны білген пайдалы: егер осы функциялардың алғашқы 

функцияларын кең көлемде қарастыру қажет болса, онда олардың әрбіреуіне 

С  тұрақтысын қосып жазуға болады. Мысалы: 



 









2

;

;

0



 жиынында 

берілген 



)

(x

f

x

2

sin

1

функциясы үшін алғашқы функция мынадай 

формуламен беріледі: F(x)=



























2

,

0

,

2

x

c

ctgx

x

c

ctgx

үшін , мұндағы

2

1

c

c 

 

Бұл пункті оқытуға 2сағат беріледі. 

 Бірінші сабақта теориялық материал және есептер шығарылады. 

 Екінші сабақта есептер шығарылады және өзіндік жұмыс жүргізіледі.  

 Алғашқы функция табу ережелері туынды есептеу ережелерінен шығады: 

қосынды туындысы теоремасы, көбейтіндінің туындысы теоремасы және 

қарапайым жағдайдағы 

))

(

(

x

F



күрделі функциясының туындысы теоремасы, 

мұндағы 

)

(x



- сызықтық функция. 

  Сабақты  түсіндіру  схемасын  мына  түрде  жазуға  болады:  тақтаға  екі  теңдік 

жазып,  мысалы, 

,

2

)

(

,

cos

n

si

2

x

x

x

x







сұрау:  бұл  теңдіктерден  өзге 

x

cos

  және 

x

2

 функцияларының алғашқы функцияларын көрсетуге бола ма? Одан кейін 

:

2

cos

)

(

n

si

sin

2

2

x

x

x

x

x

x















 Содан кейін 

x

x

2

cos 

функциясының біреуінің 

алғашқы функциясын сұрау. Бұдан қосындыдан жеке-жеке алғашқы функция 

табылады деген түсінік қалыптасады, яғни (I-ереже). 

(1)-(3)  ережелерді  дәлелдеу  үшін  сәйкесінше  f(x)+g(x),  kf(x)  және  f(kx+b) 

алғашқы  функцияларының  бірін  табу  керек.  Содан  кейін  алдынғы  пункттегі 

алғашқы  функция  табудың  жалпы  теоремасын  қолданамыз.  3-ережені 

қолдану үшін алғашқы функция қай аралықта табылатынын білу маңызды. 

жүктеу/скачать 15,15 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: