Физика және математика кафедрасы
жүктеу/скачать 15,15 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема о дифференцировании функции
- Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
- Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл
производной 0
. Если вышеописанный предел равен нулю, то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке 0
. Если функция f x определена в некоторой право- (лево-) сторонней окрестности точки 0
и существует конечный (бесконечный) передел определенного знака, то
0 0 0 0 lim
x x f x x f x x
называют соответственно конечной (бесконечной) правой (левой) производной функции
f x в
точке 0
:
' ' 0 0 ; f x f x . Замечание: Функция
f x , определенная в окрестности точки 0
имеет производную в этой точке тогда и только тогда, когда
' ' ' ' 0 0 0 : f x f x f f f x . Функция y f x называется дифференцируемой в точке 0 x , если она определена в некоторой окрестности точки 0
и ее приращение 0 0 0 , , 0 y f x x f x A x o x x x x
, где A x - функция от переменной x называется дифференциалом функции f x в точек 0
и
обозначается
0 ; , 0 df x dy y dy o x x . x обычно обозначают dx и
записывают дифференциал функции в виде dy Adx . Замечание: Величина y
является бесконечно малой более высокого порядка, чем dx .
была дифференцируема в некоторой точке 0 x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом
0 dy f x dx . Замечание: Дифференцируемость функции
в точке 0
равносильно существованию в этой точке конечной производной.
f x дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Следствие: Если функция в некоторой точке имеет конечную производную, то она непрерывна в этой точке, обратное не всегда верно. Если существует конечный 0 0 lim x k x k
, то прямая, уравнение которой имеет вид 0 0 0 y k x x y , полученная из уравнения прямой
0 y k x x x y
при 0 x
, называется касательной к графику функции в точке 0 0 ( , )
. Получаем, что
0 0 f x tg . Дифференциал в точке 0
равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика функции. Элементар функциялардың туындысы (кесте)
y f x
n x
log a x
ln x x a
e
sin x cos x
y f x
1 n nx
1 ln
a
1 x
ln x a a
e
cos x sin x
1 cos x
2
sin x
y f x
arcsin x
arccos x arctgx
y f x
2 1 1 x
1 1 x
2 1 1 x
2 1 1 x
y f x
2 x x e e shx
2 x x e e chx
thx chx
chx cthx shx
y f x
2 1 ch x
2 1 sh x
y f x
x y f x
y f x
ln
f x y f x x f x x f x Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл Мәтінді аударыңыз: dx x x f ) ( ' ) (
Интегрирование по частям . ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) (
x f x x x f x x f
Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида , ) ( ) ( dx x f x p где
) (x p – многочлен, а ) (x f – одна из следующих функций: x arctgx x x x e x arcsin
; ; ln ; sin
; cos
; ; и т.п., а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус. , )
) (
x Q x P
) (
( x Q x P –правильная рациональная дробь,
m n q px x x x x x x Q ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей: ... )
) ( ... ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ...
) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1
k k m m n l q px x N x M q px x N x M q px x N x M x x B x x B x x B x x A x x A x x A x Q x P
Анықталған интеграл Есеп 1. 2 2
2 2 ( 1) 1 1 ; 2 10 ( 1) 3 ( 1) 3 3 3
dx d x x arctg C x x x x
Есеп 2. 2 1
1 2 2 2 ( 5) ( 5) 1 ( 5) ( 5) ; 10 25 ( 5) 2 1 1 5 dx dx x x x d x C C C x x x x
Есеп 3. 2 2
2 1 2 3 1 5 ln ln . 4 5 4 4 9 ( 2) 3 6 1 3
6 1
dx dx x x C C x x x x x x x
Есеп 4. 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 1 3 2 4 2 4 d x dx dx x arctg C x x x x
. Есеп 5. 2 2 2 1 (2 2) 1 2 ( 6 25)
2 6 6 25 6 25 x x dx x x x dx x x x x
2 2 2 2 2 1 2 6 8 1 (2 6) 1 1 ( 6 25)
8 2 6 25 2 6 25 2 6 25 2 6 25 x x dx dx d x x dx x x x x x x x x
2 2
1 3 4 ln( 6 25) . ( 3) 4 2 4 dx x x x arctg C x
Есеп 6. 2 2 2 2 1 4 4 4 4 4 4
3 1 3 3 3 3 3 3 2 4 3 2 4 3 4 2 4 3 4 2 4 3 x x x x dx dx dx dx x x x x x x x x
2 2 2 2 2 2 3 (4 4) 3 (2 4 3) 3 2 ln(2 4 3) 3 4 2
4 3 2 4 3 4 2 4 3 4 2 2 x dx dx d x x dx x x x x x x x x x x
2 2 3 ln(2 4 3) 2 ( 1) 2 . 1 4 ( 1) 2 dx x x arctg x C x
1. 2
4 4 17 dx x x
2. 2
3 4 7 dx x x
3. 2 ; 2 1 dx x x
4. 2
2 5
x x
5. 2 ; 2 3 2 dx x x
6. 2
15 2 dx x x
Векторлар 1) Мына векторлардың арасындағы бұрышты табыңыз а ={1;1;0} b ={1;2;2} 2) a·b векторының скаляр көбейтіндісін табыңыз егер,
={-1;1;0}, b ={1;-
2;2} 3)
a ={1;-3;5} векторына қарама-қарсы вектордың координаталарын табыңыз:
4) Төбелері А(-4;2), В(0;-1),С(3;3) нүктелерінде жатқан үшбұрыштың периметрін табыңыз 5) А(-2; 1) және В(3; 6) нүктелері берілген. АВ қақ бөлетін М нүктесінің координаталарын табыңыз: 6) с =
, векторының координаталарын табыңыз,егер ā = {3; 0; 0}, b = {0; 0; 2} 7) A(-1,3), B(4,-2) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз: 8) A(-1,2,3), B(2,6,-2) нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз: 9) A(-1,2,3), B(2,6,-2) нүктелері арқылы өтетін түзудің параметрлік теңдеуін жазыңыз: 10)
М 1 (2,-5), М 2 (3,2) екі нүктесі арқылы өтетін түзудің бұрыштық коэффициентін есептеңіз. 11)
А(-2,1,-1) нүктесі арқылы өтетін, 3 , 2 , 1
векторына параллель түзудің канондық теңдеуін жазыңыз. 12) А
А 2 А 3 А 4 пирамиданың төбелерінің координаталары берілген. Табыңыз: 1.А 1
2 ұзындығын 2. А 1
2 , А
1 А 3 арасындағы бұрышты 3. А
1 А 4 және А 1 А 2 А 3 арасындағы бұрышты 4. А
1 А 2 А 3 ауданын 5. пирамиды көлемін 6. А
1 А 2 . түзудің теңдеуін 1. A
1 (4;6;5), A 2 (6;9;4), A 3 (2;10;10), A 4 (7;5;9)
2. A 1 (7;2;2), A 2 (5;7;7), A 3 (5;3;1), A 4 (2;3;7)
3. A 1 (7;7;3), A 2 (6;5;8), A 3 (3;5;8), A 4 (8;4;1)
4. A 1 (10;6;6), A 2 (-2;8;2), A 3 (6;8;9), A 4 (7;10;3) 5. A 1
2 (0;7;2), A 3 (0;2;7), A 4 (1;5;0)
6. A 1 (8;6;4), A 2 (10;5;5), A 3 (5;6;8), A 4 (8;10;7) 7. A 1
2 (4;10;2), A 3 (2;8;4), A 4 (9;6;9)
8. A 1 (1;8;2), A 2 (5;2;6), A 3 (5;7;4), A 4 (4;10;9) 9. A 1
2 (8;7;4), A 3 (5;10;4), A 4 (4;7;8)
10. A 1 (6;6;5), A 2 (4;9;5), A 3 (4;6;11), A 4 (6;9;3)
жүктеу/скачать 15,15 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|