Функции Определение функции, способы задания функции. Функция

жүктеу/скачать 0,66 Mb.

бет	1/4
Дата	03.12.2023
өлшемі	0,66 Mb.
	#133268

1 2 3 4

Функции

Определение функции, способы задания функции.

Функция - это математический объект, который связывает каждый элемент из одного множества, называемого областью определения, с единственным элементом из другого множества, называемого областью значений.
Способы задания функции:
Аналитический способ: Функция может быть задана аналитическим выражением, как формула или уравнение, которое описывает зависимость между входными и выходными значениями функции. Например, f(x) = 2x + 3.

Табличный способ: Функцию можно задать, перечислив все значения входных и соответствующие им значения выходных данных в виде таблицы значений. Например:

x f(x)
1 5
2 8
3 11
Графический способ: Функцию можно задать, изображая ее на графике. График функции представляет собой множество точек, где координаты x и y соответствуют соответствующим входным и выходным значениям функции. Например, график функции f(x) = x^2 будет представлять параболу.

Словесный способ: Функцию можно задать описательно или словесно, где описание определяет правило, по которому происходит преобразование входных данных в выходные данные. Например, функция f(x) может быть задана таким образом: "Удвоить входное значение и прибавить 5".

Основные характеристики функций (возрастание, убывание, монотонность, ограниченность, четность, нечетность, периодичность).

Функция может иметь следующие основные характеристики:

Возрастание и убывание: функция считается возрастающей, если при увеличении аргумента значения функции также увеличиваются, а убывающей, если значения функции уменьшаются при увеличении аргумента.

Монотонность: функция называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей на всей своей области определения.

Ограниченность: функция ограничена сверху, если для любого значения аргумента функция имеет значение, не превышающее определенного числа (верхней границы). Она ограничена снизу, если для любого значения аргумента функция имеет значение, не меньшее определенного числа (нижней границы). Функция ограничена, если она ограничена как сверху, так и снизу.

Четность и нечетность: функция называется четной, если для любого значения аргумента значение функции остается неизменным при изменении знака аргумента (f(x) = f(-x)). Она называется нечетной, если для любого значения аргумента значение функции меняет знак при изменении знака аргумента (f(x) = -f(-x)).

Периодичность: функция периодическая, если существует такое число (период), что для любого значения аргумента значение функции повторяется через равные промежутки (f(x) = f(x + T), где T - период функции).

Определение предела функции в точке.

Определение предела функции в точке гласит, что функция f(x) имеет предел L при x, стремящемся к a, если для любого положительного числа ε существует положительное число δ, такое что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x - a| < δ, выполняется неравенство |f(x) - L| < ε.

Это можно интерпретировать так: если значения функции f(x) могут быть сколь угодно близкими к L, при достаточно близких значениях аргумента x к точке a.

Таким образом, предел функции f(x) в точке a, обозначается как lim(x→a) f(x) = L.

Определение односторонних пределов. Теорема.

Односторонний предел – это предел функции при стремлении аргумента к некоторой точке слева или справа. Более точно, пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением самой точки a. Тогда односторонний предел f(x) при x стремящемся к точке a слева обозначается как:

limₓ→a⁻ f(x)

А односторонний предел справа обозначается как:

limₓ→a⁺ f(x)

Другими словами, односторонний предел показывает, как ведет себя функция, когда аргумент приближается к точке a только с одной стороны.

Теорема о пределе односторонней функции утверждает, что если существуют оба односторонних предела функции в точке a и они равны, то существует и обычный (двухсторонний) предел функции в точке a и он также равен этим односторонним пределам. Формально, если для функции f(x) справедливы равенства:

limₓ→a⁻ f(x) = limₓ→a⁺ f(x) = L,

то также справедливо равенство:

limₓ→a f(x) = L.

Определение предела функции, когда x→∞.

Определение предела функции, когда x→∞, означает, что мы рассматриваем поведение функции при стремлении аргумента x к положительной бесконечности.

Функция f(x) имеет предел L при x→∞, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число M, что для всех x>M выполняется условие |f(x) - L| < ε.

Это означает, что при достаточно больших значениях x, значения функции f(x) будут сколь угодно близки к числу L. Если функция имеет предел при x→∞, то его можно найти, анализируя асимптотическое поведение функции при x→∞ и использовать алгебраические манипуляции, чтобы упростить выражение и найти предельное значение.

Например, для функции f(x) = x^2 + 3x + 1 при x→∞, мы можем заметить, что наибольше влияние на значения функции имеет слагаемое x^2. Поскольку x^2 растет быстрее, чем 3x и 1 при стремлении x к бесконечности, мы можем сделать вывод, что предел функции равен бесконечности (или плюс бесконечности).

Это лишь один пример, и для разных функций пределы могут быть различными. Поэтому определение предела при x→∞ важно для изучения поведения функций на бесконечности.

Определение бесконечно больших и бесконечно малых функций в точке, их свойства.

Бесконечно большая функция в точке - это функция, значение которой стремится к бесконечности при приближении аргумента к данной точке. Формально, функция f(x) называется бесконечно большой в точке a, если для любого числа M существует такое число δ>0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x − a| < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M.

Свойства бесконечно больших функций в точке:

Если f(x) - бесконечно большая функция в точке a, то -f(x) - также бесконечно большая функция в точке a.
Если f(x) и g(x) - бесконечно большие функции в точке a, то f(x) + g(x) и f(x) * g(x) также являются бесконечно большими функциями в точке a.
Если f(x) - бесконечно большая функция в точке a, а g(x) - ограниченная функция в точке a, то f(x) * g(x) является бесконечно малой функцией в точке a.
Если f(x) - бесконечно большая функция в точке a, то 1/f(x) является бесконечно малой функцией в точке a.

Бесконечно малая функция в точке - это функция, значение которой стремится к нулю при приближении аргумента к данной точке. Формально, функция f(x) называется бесконечно малой в точке a, если для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x − a| < δ, выполняется неравенство |f(x)| < ε.

Свойства бесконечно малых функций в точке:

Если f(x) - бесконечно малая функция в точке a, то -f(x) - также бесконечно малая функция в точке a.
Если f(x) и g(x) - бесконечно малые функции в точке a, то f(x) + g(x) также является бесконечно малой функцией в точке a.
Если f(x) - бесконечно малая функция в точке a, а g(x) - ограниченная функция в точке a, то f(x) * g(x) является бесконечно малой функцией в точке a.

Свойства предела функции.

Уникальность предела: Если у функции есть предел в точке, то он единственный.

Предел постоянной функции: Предел постоянной функции равен значению этой функции в любой точке.

Предел произведения функций: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если пределы обеих функций существуют.

Предел суммы и разности функций: Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, если пределы обеих функций существуют.

Предел частного функций: Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если пределы обеих функций существуют и делитель не обращается в ноль.

Предел составной функции: Если у функции f(x) существует предел в точке a, а функция g(x) непрерывна в точке, где ее значение совпадает с пределом f(x), то предел композиции f(g(x)) при x, стремящемся к a, существует и равен пределу f(x).

Предел монотонной ограниченной функции: Если у монотонной ограниченной функции существует точка разрыва, то пределы функции в этой точке существуют, и они равны ее минимальному и максимальному значению соответственно.

Предел суммы степеней: Предел суммы степеней двух функций равен сумме пределов их степеней.

1 замечательный предел, 2 замечательный предел.

1 замечательный предел - это предел функции, который может быть найден с помощью известных замечательных пределов, таких как пределы синуса, косинуса, экспоненты и т.д.

2 замечательный предел - это предел функции, который может быть найден с помощью алгебраических преобразований и известных замечательных пределов, таких как сумма, разность, произведение и т.д.

Эквивалентные функции. Свойства.

Эквивалентные функции - это такие функции, которые имеют одинаковые пределы или пределы, которые можно получить путем алгебраических преобразований.

Свойства эквивалентных функций:

Они имеют одинаковую область определения. Область определения - это множество значений, для которых функция определена и имеет смысл.

Они имеют одинаковую область значений. Область значений - это множество значений, которые функция может принимать.

Они имеют одинаковые значения в каждой точке их области определения. Это означает, что для любого x из области определения функции f(x) и g(x) будут иметь одно и то же значение.

Они имеют одинаковую четность. Функция называется четной, если для всех x выполняется условие f(-x) = f(x). Она называется нечетной, если для всех x выполняется условие f(-x) = -f(x). Если две функции эквивалентны и одна из них является четной (или нечетной), то и другая функция также будет четной (или нечетной).

Они имеют одну и ту же графическую форму. Графическая форма функции - это изображение ее значений на координатной плоскости.

Непрерывность функции в точке, на отрезке

Непрерывность функции в точке означает, что предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Непрерывность функции на отрезке означает, что функция непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Точки разрыва и их классификация.

Точки разрыва - это точки, в которых функция не является непрерывной.

Точки разрыва классифицируются на особые точки разрыва (разрывы первого рода), скачковые точки разрыва (разрывы второго рода) и логарифмические точки разрыва (разрывы третьего рода).

Свойства непрерывных функций.

Свойства непрерывных функций включают сохранение операций (сложение, вычитание, умножение, деление), сохранение пределов и сохранение порядка.

1-я теорема Вейерштрасса.

1-я теорема Вейерштрасса гласит, что непрерывная функция на компакте достигает своего максимального и минимального значения.

2-я теорема Вейерштрасса.

2-я теорема Вейерштрасса гласит, что непрерывная функция на компакте является равномерно непрерывной.

1-я теорема Больцано-Коши.

1-я теорема Больцано-Коши гласит, что если функция непрерывна на отрезке и изменяет знак, то существует хотя бы одна точка, в которой функция равна нулю.

2-я теорема Больцано-Коши.

2-я теорема Больцано-Коши гласит, что если функция непрерывна на отрезке и принимает значения разных знаков на его концах, то существует хотя бы одна точка, в которой функция равна нулю.

жүктеу/скачать 0,66 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4