Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16 теңсіздігі бойынша, егер

Минковский теңсіздігін әрі қарай (3.6) теңсіздігіндегі қосындыны интегралға алмастыру арқылы тағы да жалпылауға болады:

.
(3.3) теңсіздігінде бойынша қосындыларды интегралдармен алмастыруға болады. Егер болса, онда әрбір жағдайда теңсіздік керісіне алмастырылады, бірақ болғанда функцияларды еш жерде нөл мәнін қабылдамайды деп ұйғарамыз.

Мұндай интегралдарды дәлелдеудің бірнеше жолдары бар. Біз оларды дискретті теңсіздіктердің шектік жағдайы ретінде алуымызға болады, бірақ оларды дискретті аналогтарды дәлелдегендей идеялармен тікелей дәлелдеуге болады.
Осы жолдардың біріншісін бейнелеу үшін келесі теңсіздікті көрсетеміз

. (3.7)
Алдымен және үзіліссіз деп ұйғарайық. Онда (3.7) келесі дискретті теңсіздіктен жағдайында шекке көшкенде шығады

,
ал бұл жай ғана Коши теңсіздігі.[23]

Толықтай (3.7) теңсіздігін алу үшін Лебег мағнасында интегралданатын функциялар -мөлшерінде көпмүшеліктермен жуықталатыны туралы фактіні қолданамыз. Дәлелдеудің бұл жолы күрделі облыс бойынша еселі интегралдар үшін теңсіздікті қрастырған кезде тиімсіз екені түсінікті.

.
және -ны -дан тәуелді функция ретінде қарастырып, бойынша интегралдап келесіні аламыз

. (3.8)

Енді -ды , ал -ны -мен алмастырайық. Онда (3.8) теңсіздігінен келесі шығады

,
ал бұл кез-келген облысына жалпыланған (3.7) теңсіздігі болмақ.

Біз бұған дейін Гельдер және Минковский теңсіздіктері -ға қатысты біртекті болғандықтан орталар үшін және интегралдық аналогтары болады деген едік. Сол себепті де олардың орталар үшін интегралдық аналогы бар болады. Бұл үшін барлық жерде
интегралын интегралына

алмастыру қажет.

Біз осыған дейін қарастырған немесе болғандағы ақырлы қосындыға қатысты
теңсіздігі -ға қатысты біртекті емес және интегралдық аналогы жоқ. Бірақ орталардың арасындағы кері

теңсіздігі де -ға қатысты біртекті емес болса да интегралдық аналогқа ие:

.
Бұл жерде және ретінде сәйкесінше маңызды минимум және маңызды максимумды түсінуіміз керек (яғни өлшемі нөлге тең жиынды есептемегенде дәл жоғарғы және дәл төменгі шекара), ал -геометриялық орта

.

4. Теңсіздіктерді квазилинеаризация әдісімен дәлелдеу
   

Квазилинеаризация әдісін қарастырмас бұрын жағдайында Гельдер теңсіздігінің дискретті нұсқасы келесі түрде тұжырымдалуы мүмкін екенін айта кеткен жөн

Енді квазилинеаризация ұғымы туралы бірнеше алдын-ала түсініктерді берейік.

.
Кез-келген үшін орындалатын функциясының -тен тәуелді функция ретіндегі қарапайым функционалдық қасиеттері, мысалы, оңдығы, сызықтылығы және дөңестігі функциясының сәйкес қасиеттерінің алғы шарты болады. Көптеген жағдайларда бұл қасиеттерді үшін тікелей дәлелдегеннен гөрі функциясының бойынан табу жеңілірек болып келеді.[24]

Алғашқы және ең маңыздысы кез-келген үшін функциясының бойынша сызықтылығы, яғни
теңдігінің орындалуы. Осыдан келесі теңдіктерді аламыз

.
Бұл- үшін «үшбұрыш теңсіздігі» немесе «субаддитивтілігі».

Матрицаларға арналған келесі ерекше жағдай ретінде
функциясын айтуға болады, мұндағы , интегралдау кеңістігінің қандайбір облысы бойынша алынады және функциясы -ке қатысты кез-келген және үшін сызықты.

Онда үшін келесі теңдікті аламыз

Көрсеткіштері болатын Гёльдер теңсіздігін пайдалана отырып, біз төмендегі қатынасты аламыз

Логарифмдеу арқылы функциясы тің кез келген мәнінде тің дөңес функциясы болатынын көреміз.

Риккати дифференциалдық теңдеуін дәлелдеуде квазилинеаризация әдісін қолданамыз; Беллман, Гликсберг және Гросстың еңбекткрінде
формуласының вариациялық есептеудің классикалық емес еептеріне арналған кейбір қосымшалары берілген. Квазилинеаризация әдісін Фурье қатарлары теориясында Зигмунд кеңінен қолданған.

Бұл типті талқылаудың алғашқы мысалы ретінде үшінші параграфта дәлелденген Минковский теңсіздігін қайта дәлелдейміз.

(4.2)