Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16 теңсіздігі бойынша, егер

жүктеу/скачать 34,99 Kb.

бет	4/5
Дата	08.09.2023
өлшемі	34,99 Kb.
	#106703

1 2 3 4 5

(а) ,
(б) ,
(в) .

Онда келесі теңсіздік орындалады

.

Минимальды мәнін клесі функциялар қабылдайды

,
.
Дәлелдеуі. функциясы үшін анықталған және ойыс функциялар класына тиісті болсын. Оң емес екінші ретті туындысы бар функциялардан тұратын ішкі класты қарастырайық:

, . (5.1)

Кеңірек кластың барлық функциялары бойынша минимизациялау (5.1) шартын қанағаттандыратын функциялардың дәл төменгі шекарасының анықтамасына пара-пар болады.

Шекаралық шарттары (5.1)-де көрсетілгендей болатын операторы үшін Грин функциясын қарастырайық, дәлірек айтқанда

функциясын қарастырайық.

Онда функциясын келесі түрде жазуға болады

.
Осы жазылуды пайдаланып,

сызықтық функционалының барлық ойыс, жоғарыда көрсетілгендей мөлшерленген функциялары бойынша минимумын табайық, мұндағы берілген теріс емес функция. Мына теңдікті аламыз

,
және біз барлық бойынша

шартын қанағаттандыратын дәл төменгі шекараны табумыз керек, мұндағы

.
Ақырлы өлшемді жағдайға ұқсас талқылай отырып, бойынша дәл төменгі шекара, яғни бойынша дәл төменгі шекара келесі формуламен берілетінін көруге болады

.
Біз тұжырымды кейінірек жалпы жағдайда үшін дәлелдейміз. 11-теорема осы нәтижеден тура шығады. Келесі теңсіздікті аламыз

.
Тағы да сол теңсіздікті, бірақ бұл жолы теріс емес және ойыс функциялары үшін пайдаланып, ақырында келесі теңсіздікті аламыз

.
Бұл теңсіздіктің тривиальды емес екенін көрсету қалады. Гросс жүргізген тікелей есептеу минимум мәннің және симметриялы нүктелерінде болатынын және оның -ге тең екенін көрсетеді.[28]

Енді 11-теореманың кеңістігі үшін жалпыламасын дәлелдейік. Біз келтіретін дәлелдеме Вейнбергерге тиесілі.

12-теорема. және келесі шарттармен мөлшерленген ойыс функциялар болсын:

(а) ,
(б) , .

Онда келесі теңсіздік орындалады

. (5.2)

Оң жағы максимум мәнге болағанда жететінін айта кетейік.
Дәлелдеуі. Жоғарыдағы сияқты келесі функцияларды қарастырамыз

,
.

Онда келесі теңсіздіктер орындалады

, (5.3)
мұндағы

.
Барлық интегралдар 0-ден 1-ге дейінгі аралықта алынады. Гельдер теңсіздігін қолданып, келесі теңсіздіктің орындалатынын көреміз

. (5.4)
Осыған ұқсас келесі теңсіздікті аламыз

. (5.5)
(5.4), (5.5) теңсіздіктері (5.3) теңсіздігімен бірігіп, келесі теңсіздіктің дұрыс екенін көрсетеді

.
Тағы да сол Гросс жүргізген тікелей есептеу (5.2)-нің оң жағындағы өрнекке әкеледі.

Жоғарыдағыға ұқсас талқылаулар жасай отырып, келесі жалпы нәтижені алуға болады.
13-теорема. және функциялары, қандайбір облысында жататын нүктелері үшін анықталсын және келесі үш шартты қанағаттандырсын:

(а) ,
(б) -дің шекарасы -да ,
(в) .
- облысы үшін Грин функциясы болсын және

.

Онда келесі теңсіздік дұрыс

.
Параграфтың басындағы Франк-Питт нәтижесінің жалпыламасы Фавар және Бервальд дәлелдеген теңсіздіктердің дербес жағдайы болып шығады.

Фавар келесі теореманы дәлелдеген.

14-теорема. функциясы кесіндісінде теріс емес үзіліссіз ойыс, нөлге пара-пар функциядан өзгеше функция болсын. Келесі белгілеуді еңгізейік

.

-шенелген үшін кемімейтін функция болсын және

болсын. Онда келесі теңсіздік дұрыс

. (5.6)
Фавар сәйкес теоремаларды көп айнымалылы функциялар үшін дәлелдеді және (5.6) теңсіздігінде теңдіктің орындалу шартын да көрсетті. 14-теореманың жалпыламасын Бервальд дәлелдеген.

15-теорема. функциясы теріс емес үзіліссіз ойыс, кесіндісінде нөлге пара-пар емес функция болсын. функциясы үшін қатаң монотонды және үзіліссіз болсын, мұндағы -жеткілікті үлкен. Онда

жүктеу/скачать 34,99 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5