Гельдер және Минковский теңсіздіктері Бұрын дәлелденген 16 теңсіздігі бойынша, егер

болғандықтан, мұндағы дегеніміз

теңсіздіктерін табамыз. Дәлелдеуіміз керегі де осы.

Гёльдер теңсіздігінде теңдік шартын пайдаланып, (4.2) теңсіздіктегі теңдік жағдайы тек болғанда немесе пен пропорционал болғанда ғана орындалатынын көрсету қиын емес.[25]
Квазилинеаризация әдісін қолданып тағы маңызды теңсіздікті дәлелдейік.
7-теорема. үшін төмендегі теңсіздік орындалады
Дәлелдеуі. Арифметикалық және геометриялық орталардың арасындағы теңсіздік бойынша

(4.3)
мұнда енді келесі қатынастармен анықталатын облыс

Қайтадан квазилинеаризацияны пайдаланып, үшін Минковский теңсіздігі болатын келесі нәтижені тұжырымдаймыз.

8-теорема. Егер болса, онда келесі теңсіздік орындалады
Дәлелдеуі. Айталық, болсын. Бұл белгілеулер арқылы біз
теңсіздігі орындалатынын дәлелдейміз. үшін

болғандықтан (мұнда функциясы келесі қатынастармен анықталған

.
Дәлелдеуіміз керегі де осы болатын.[26]

Енді келесі нәтижені дәлелдейік.
9-теорема (Беккенбах теңсіздігі). Айталық және үшін болсын. Онда

(4.4)

(4.5)
теңдігін аламыз. Сондықтан да барлық үшін

(4.6)
орындалатынын көрсетсек жеткілікті. (4.5)-дегі - келесі қатынастармен анықталған облыс:

(4.6) теңсіздікте кездесетін өрнектерді ықшамдау үшін

(4.7)
Осы (4.7) теңсіздіктің ақиқаттығын дәлелдеу үшін оның сол жағының алымына үшін Гёльдер теңсіздігін пайдалансақ, онда

теңсіздігі орындалады. Осылайша, егер

(4.8)
теңсіздігі орындалса, онда (4.7) теңсіздік те орындалады. Бірақ бұл - яғни үшін орындалатын Минковский теңсіздігі. үшін (4.8) теңсіздік тривиальды.

Ал үшін (4.4)-де теңсіздік таңбасын кері таңбаға өзгерту керек.
Беккенбах теңсіздігін Дрешер жалпылаған және оны дәлелдеу үшін моменттер әдісін пайдаланған.
10-теорема. Егер болса, онда

(4.9)
Бұл нәтиже 23-параграфта көрсетілгендей квазилинеаризация арқылы да алынуы мүмкін. (4.9) теңсіздікті Данский де дәлелдеген, ол Гёльдер мен Минковский теңсіздіктерінің комбинациясын пайдаланған.

Осы параграфтарда қорытып шығараған теңсіздіктер бір ғана Минковскийдің идеясына негізделген. Айталық, функциясының төмендегідей қасиеттері бар делік:

тің жалпыланған арақашықтық (санақ басынан) немесе өлшемді векторының жалпыланған нормасы екені анық.

қатынасымен анықталатын жаңа функциясын енгізе аламыз. Дөңес денелер теориясында «тірек функциясы» деп аталады. Ол геометриялық тұрғыда сферасына қатысты кері поляр түрелендіруінің көмегімен анықталады. Осының негізінде

қосарлас қатынас орындалу керек деп ұйғарым жасауға болады. Мұны Минковский шынында да дәлелдеген. Осыдан
теңсіздігі шығады. Бұл теңсіздікті алғаш сандардың геометриялық теориясында Малер дәлелдеген көрінеді.

5. Кері теңсіздіктер

   
   

Біз алдыңғы параграфтарда Буняковский-Шварц және оның жалпыламасы- Гельдер теңсіздігін қарастырған едік. Келесі түрдегі теңсіздік

-ден алынған барлық және үшін ешбір оң абсолютті тұрақты үшін орындалмайтыны түсінікті. Бірақ мұндай теңсіздік -нің қандайбір ішкі кеңістігінен алынған және үшін орындалады екен.
Осындай есептерді Франк, Пик, Бляшке, Бюкнер, Фавар, Бервальд, Кнезер және Беллман сияқты ғалымдар қарастырған. Бұл есептер моменттер теориясының және дөңес жиындар теориясының әдістерімен жүйелі түрде қарастырылатын және Фавар, Бервальд әдістерімен елеулі түрде жалпыланатын болса да, біз Беллман ұсынған басқа бағыттағы жалпыламаларын алуға болатын талқылауына бағынамыз.[27]
Біздің алғашқы нәтижеміз келесі болады.
11-теорема. және келесі шарттармен мөлшерленген -тен тәуелді, , ойыс функциялар болсын: