Хабаршы №5 филологиялық Ғылымдар әож 81'366-512. 1 11/13

;
0


yy
m
xx
U
y
U
                                                        (13) 
теңдеуін (y

0;  0Коши есебі:  
)
(
)
,
(
lim
)
,
(
lim
0
)
0
,
(
)
,
(
0
0
0
x
U
y
x
U
x
x
x
y
x













                          (14) 
)
(
)
1
0
(
0





x
 
)
(
)
(
)
lim(
)]
2
1
(
2
[
lim
0
2
2
)
0
,
(
)
,
(
0
x
U
U
U
x
y
x
y















                            (15) 
)
1
0
(
0


x
 
 
 
 
 
у           
 
 
 
 
      
 
 
                        
                                                            
 
 
 
 
 
х    
 
 
 
 
 
 
сурет 1 Тӛңкерілген парабола 
 
Теорема: Берілген обылыста Коши есебін қанағаттандыратын  U
xx
+y
m
U
yy
=0 
теңдеуінің шешуін тап. 
Характеристикалары бойынша теңдеу мына тҥрге келеді. 
 
0
)]
(
)
(
[










U
U
U
                              (16) 
 
(16)-теңдеудің шешуі Эйлер-Дарбу теңдеуі бойынша  
)
(
2
2
1
)
(
)
1
(
2
1
)
(
)
(






















Z
Z
Z
                        (17) 
тҥрге келеді.  Ал (17) теңдеуінің шешуі 
)
(

Z
болады. 
Ал 
2
1
0




   болғандықтан 
)
(


Z
-ның  интегралдық  тҥрі  Пуассон  тҥрінде 
тӛмендегі тҥрде жазылады.  
 
 


















1
0
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
)
(
(
1
0
)
1
(
)
)
(
(
2
)
(
)
(























d
d
Ф
z
                        (18) 

]
,
0
[
2
)
(
]
1
,
0
[
2
)
(
t
C
t
C
t
Ф



     
   
                                                (t=ζ+(η-ζ)λ)                                                 (19)   
   
алмастыруын жасаймыз. 
(19)-ден ψ´(t)-ны ψ(t)-ның жаңа функциясы деп тӛмендегіні бӛлшектеп интегралдау 
арқылы аламыз. 
 
 
РЕЗЮМЕ 
 
      В  статье  с  целбю  проектирования  разработки  программ  для  осуществления 
операции  над  векторами  и  диференциальное  иследование  материалы.Дале 
приведены структуры форм,разроботанных в среде КОШИ. 
 
SUMMARY 
 
       In  the  article  from  the  целбю  planning  of  разработкипрограмм  for  realization  of 
operation above vectors and Structures over of forms are Further brought, developed in the 
environment of  KOSHI. 
 
 
 
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 
 
1.
 
Пискунов  И.С.  Дифференцальное  и  интегральное  исчисление:  В  2  т.  –    М.:Наука, 
1985. – Т.1,2. – 432 с.  
2.
 
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исичесление. Т. І-ІІІ. 
– М. : Наука, 1970.-218с.   
3.
 
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985. 
415с.  
4.
 
Бугров  Я.С.  ,  Никольский С.  М.,  Дифференцальное и  интегральное исичесление.  – 
М.: Наука, 1988. -448с.   
5.
 
Демидович  Б.  П.  Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу.  –  М.:Наука, 
1978, 480с.  
 
ӘОЖ  004.7(07.5) 
 
ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТЕҢДЕУДІҢ ЖАЛПЫ ШЕШІМІ.  
Нығмет З. М., Ақылбаев М. 
Аймақтық-әлеуметтік инновациялық университеті 
 
 Мынадай 

 
     
 
 
 
 
y
x
f
y
x
c
y
u
y
x
b
x
u
y
x
a
y
x
u
Lu
,
,
,
,
2












             (1) 
 
Теңдеуді  қарастыралық.Теңдеудің  бас  символы   
 
,
2
1
,
2






x
 мҧндағы  




.
2
1
,
,






y
x
x
Бҧл (1)  теңдеудің характеристикалық  теңдеуі мынадай:  
 


0
,
2







y
x
grad
x




 
 
болады, мҧндағы  












y
x
grad



 
 
Соңғы теңдеуден  
 
.
0



y

 
 
Демек,  
const
y

   және 
const
x

   бағыттары  характеристикалық  екенін  байқаймыз. 
Мҧны мынадан да кӛруге болады:  
 
 
 
0
.
1
,
0
2
1
,
2










x
 
 
немесе  
 
1
.
0


. 
 
Демек, характеристикалық бағыттар: (1,0) және (0,1) .Бҧл бағыттарға перпендикуляр 
тҥзулер характеристикалық болады. 
Кошидің есебі. Бізге 
xy
 жазықтығында орналасқан және характеристикалармен тек 
бір  рет ғана қиылысуы мҥмкін 
l
-доғасы берілсін. 
Бҧл доғаны теңдеуі: 
 
x
g
y

 немесе  
 
y
h
x

  тҥрінде берілуі мҥмкін. 
 
                                
 
x
g
y
l

2
  немесе  
 
y
h
x

 
 
Осы доғаның бойында  
 
y
x
u
,

 пен  
y
u


-тің  мәндері белгілі болсын. 
 

             
 
 
 
 
x
x
g
y
y
u
x
x
g
y
u
1
,
0








                              (2) 
 
Бҧл екі шарт бойынша  
l
  доғасының бойындағы  
x
u


-тың мәндерін табуға болады. 
Шынында  да,  (2)    формуланың  бірінші  теңдігін  х  бойынша 
дифференциялдасақ: 
 
 
   
 
x
x
g
x
g
y
y
u
x
g
y
x
u
0










 
 
          (3) 
 
мҧндағы   
 
 
 
   
 
x
x
g
x
x
x
g
y
x
u










1
0
                       (4)  
 
Кошидің  есебі  деп  –  (2)  алғы  шарттарға  лайық  (1)  теңдеудің  шешімін  табуды 
айтамыз.Ескерте  кетер  бір  жайт,  (2)    шарт 
l
 доғасының  шамалы  бір  маңайында 
орындала делінеді. 
Енді  осы  (1)-  (2)  Кошидің  есебінің  интегралдық  теідеулер  системсын 
қорытайық. 
Мына теңдіктер  
 
y
u
w
x
u
v






,
 
 
Арқылы  жаңа 
w
v,
   функцияларын  енгізсек,  онда  (1)  теңдеу  келесі  теңдеулер 
системасын әлдес болады. 
 
                       



































cu
y
u
b
x
u
a
f
y
x
u
x
w
cu
y
u
b
x
u
a
f
y
x
u
y
v
2
2
                                           (5) 
 
АВСД тіктӛртбҧрышы ішінен қалаған бір  
 
y
x
N
,
 нҥктесін  таңдап  алалық  және осы 
нҥкте  арқылы  ӛтетін   
NQ
NP,
 характеристикаларын 
l
 доғасымен  қиылысқанша 
жҥргңзейік.Мҧнан  соң  (5)  теңдеулер  системасының  бірінші  және  ҥшінші 
теңдеулерін 
NQ
 бойынан, ал екінші  теңдеуін 
PN
 бойымен  интегралдасақ  және    (2),  
(3),  (4) теңсіздіктерді ескерсек онда мынадай 
 
 

   















































y
x
g
y
x
g
x
g
y
x
y
h
y
x
y
h
x
x
y
h
y
x
y
h
x
y
x
g
y
x
y
x
g
y
x
x
g
y
dy
y
x
w
x
dy
y
x
w
y
x
u
y
x
u
dx
cu
bu
au
f
x
dx
cu
bu
au
f
y
x
w
y
x
w
dy
cu
bu
au
f
x
w
dy
cu
bu
au
f
y
x
v
y
x
v
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
]
[
)
(
]
[
)
,
(
)
,
(
,
]
[
)
(
]
[
,
,


  
(6) 
 
 теңдеулер системасын аламыз. 
Егер  u(x,y)  (2)  шартқа  сай  (1)  теңдеудің  шешімі  болса,  онда  v,w  және  u 
функцияларының  (6)  интегралдық  теңдеулер  системасының  шешімі  болары  анық. 
Керісінше,  (6)  теңдеулер  системасының  ҥздіксіз  (u,v,w)    шешімдері  (5) 
дифференциялдық  системасын  қанағаттандырады,  ал  u(x,y)  функциясы  (2)  алғы 
шартқа  сай  және  (1)  теңдеуінің  шешімі.  Шынында  да,  (6)  системасының  соңғы 
теңдеуінен 
w
y
v



 екенін  кӛреміз.  Сол  сияқты  (6)  системаның  бірінші  және  екінші 
теңдеуінен мынадай  
 
cu
bw
av
f
x
w
cu
bw
av
f
y
v












,
 
 
Теңдіктер  аламыз.  Енді  (4)-ті  апарып  (5)  теңдікке  қойсақ,  онда  u(x,y)-тің  (1) 
теңдеудің шешімі боларын кӛреміз: 
 
.
2
;
cu
y
u
b
x
u
f
y
x
u
x
u
v















 
 
Бҧл u(x,y) функциясының (2) шартқа сай екенін кӛру қиын емес. 
 
)
(
1
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
y
u
),
(
0
)
(
)
,
(
x
y
h
y
y
x
w
x
g
y
y
x
w
x
g
y
x
x
g
y
y
x
u












. 
Коши есебінің қойылымы. Берілген х=x
0
 болғанда у=у
0
, у
1
=у
1
0
 болатын 
шарттарын қанағаттандыратын y
11
=f(x,y,y
1
) теңдеуінің шешімін дербес шешім деп 
атайды. 
Мҧнда дербес шешімге сәйкес келетін С
1
,С
2
 сандары мына теңдеулер жҥйесінен 
анықталады 

 
                                     






)
,
,
(
)
,
,
(
2
1
0
0
1
2
1
0
0
1
C
C
x
y
C
C
x
y


 
 
Тӛменде екінші ретті теңдеулердің интегралданатын қарапайым тҥрлері 
қарастырылады. 
Интегралданатын екінші ретті теңдеулер қатарына белгілі әдістер қолданғанда 
реті тӛмендетілетін теңдеулерге жатады.Сондай теңдеудің ҥш тҥрін қарастырамыз: 
а) y
11
=f(x,y,y
1
) теңдеудегі оң жақтатҧрған функция тек х-тен тәуелді, яғни  
 
                                       у
11
=f(x) 
 
Бҧл теңдеудің жалпы шешімі екі рет интегралдап табылады. 
 
                           


 



2
1
)
(
C
x
C
dx
dx
x
f
y
 
 
Теорема 1  Дифференциалдық теңдеу  
 
                                                  
)
,
(
'
y
x
f
y

                                             (7) 
 
және    бастапқы    мәндер    х
0
,у
0
    берілсін.  Егер  f(x,y)  -  функциясын    мына    тҧйық 
облыста    
 
D= 


b
y
y
a
x
x
R
y
x





0
0
2
,
:
)
,
(
 
 
 (a,b-белгілі оң сандар)  екі  шартты қанағаттандырса. 
1) қос  айнымалы-х,у бойынша ҥзіліссіз, яғни 
;
:
)
,
(
sup
M
y
x
f


 
2)  у-айнымалы-х,у  бойынша   Липшиц   шартын   қанағаттандырады,  яғни    L>0    
саны бар болып, D-oболысының  кез-келген  екі (x,y
1
)  және   (x,y
2
) нҥктелері  ҥшін  
 
2
1
2
1
)
,
(
)
,
(
y
y
L
y
x
f
y
x
f



   
 
 теңсіздігі  орындалады,  L>0  саны нҥктелердің  алынуынан  тәуелді емес, онда (1) 
теңдеудің  
 

(x
0
)

y
0                                                                                                           
(8) 
 
шартын  қанағаттандыратын, 


h
x
h
x


0
0
,
,h=min(a, b/M)  кесіндісінде  анықталған, 
ҥзіліссіз  дифференциалданатын    жалғыз ғана  шешімі y=

(x)  бар болады  және   
 

   

 

b
x
b
x
h
x
h
x
D
D
D
x
x







0
0
0
0
0
0
,
*
,
,
))
(
,
(

. 
 
Теорема 2 Айталық  f(x,y)-  функциясы   
 








x
b
x
a
R
y
x
Q
,
:
)
,
(
2
  
 
 жолағында    анықталған    және  ҥзіліссіз  болсын.    әрі  х-бойынша    Липшиц    шартын 
қанағаттандырсын. Онда жолақтан  алынған кез-келген бастапқы  берілгендер    x
0
,   
y
0
-  ҥшін      (1)  ,(2)          Коши  есебінің    жалғыз  ғана  шешімі  бар  болады.    Мҧндағы 
Липшиц шартының  орнына одан кҥштірек шарт   шектелген деп алуға болады. 
Теорема 3 ( x
0
, y
0
 )  шенелген  тҧйық  D

  R
2
  облысының  ішкі нуктесі болсын. 
Егер f(x,y)  функциясы D облысында ҥзіліссіз  және у-бойынша Липшиц  шартын 
қанағаттандыратын болса, онда мына Коши есебінің                       y’=f(x,y)                                                        
(9) 
y(x
0
)=y  шешімін  облысының  шекарасына дейін жалғастыруға  болады. 
Теорема  4  Егер    f(x,y)  функциясы  D  -жолағында  анықталған,    ҥзіліссіз  
дифференциалданатын  болып, әрі мына теңсіздікті  
 
 
b
a
c
t
x
Ln
y
f
,
),
(





   
 
қанағаттандырса,  онда  кез-келген  бекітілген  бастапқы  берілгендер  ((  x
0
,  y
0
  ) 

    D,   
яғни   x
0
 

  

a,b

 )    ҥшін   Коши есебінің жалғыз ғана шешімі бар  болады және ол 
шешім 

a,b

   интервалының ӛне бойында анықталады. 

жүктеу/скачать 3,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: