І. Электрстатик а
Остроградский-Гаусс теоремасы және оны өрістерді есептеуге қолдану
жүктеу/скачать 1,99 Mb.
|
| 1.6. Остроградский-Гаусс теоремасы және оны өрістерді есептеуге қолдану
Жалпы жағдайда нүктелік зарядтар жүйесі немесе әртүрлі формалы зарядталған денелер туғызушы электр өрістерінің кернеулігін есептеу өте күрделі болып табылады. Есептеуді жеңілдету үшін әртүрлі қосымша әдістер қолданылады. Бұл әдістердің ең қарапайымы - Остроградский-Гаустың теоремасына негізделген әдіс. Нүктелік зарядтың айналасындағы кез-келген радиусты сфералық бетті қиып өтетін кернеулік сызықтардың толық саны , сызықтар жиілігі (тығыздығы) мен сфералық бет ауданының көбейтіндісіне тең болады. Жоғарыда айтылғандай, шарт бойынша кернеулік сызықтар жиілігі (бірлік ауданнан өтетін саны) сан жағынан шамасына тең ((1.7) өрнегіне сәйкес). Демек, шамасы сан жағынан мынаған тең: (1.15) яғни зарядтан кез-келген қашықтықтағы сызық саны бірдей болады. Бұл кернеулік сызықтардың зарядтан басқа еш жерде басталмайтындығын және бітпейтіндігін көрсетеді, олар зарядтан басталып, шексіздікке кетеді, (заряд оң болғанда) немесе шексіздіктен келіп, зарядқа бітеді (заряд теріс болғанда). Кернеулік сызықтарының бұл қасиеттері барлық электрстатикалық өрістер үшін, яғни қозғалмайтын зарядтардың кез-келген жүйесі туғызатын өрістер үшін ортақ болып табылады. (1.15) өрнегі бойынша нүктелік зарядты қоршаған сфералық бет арқылы өткен вектор ағынының -ге тең екені белгілі болды. Егер бет сфералық емес, басқа қисық тұйықталған бет болып оның ішінде заряды бар болса, вектор ағыны болатындығын байқау қиын емес (суретте көрсетілген сфералық бет арқылы өткен кернеу векторының ағыны тұйықталған кез-келген формалы беттен де өтеді). Яғни, кез-келген басқа формалы бет үшін де вектор ағыны сан жағынан сфералық беттегідей болады. Сонымен, тұйықталған беттің формасы қандай болмасын нүктелік зарядты қоршаған осы бетті тесіп өтетін вектор ағыны -ға тең болады екен. Қандай да бір тұйықталған беттің ішінде кез-келген таңбалы т.б. нүктелік зарядтар бар делік. вектор ағыны анықтама бойынша мынаған тең:
Интеграл белгісіндегі дөңгелекше интегралдаудың тұйықталған бет арқылы жүргізілетінін көрсетеді. Өрістер суперпозициясы принципінің негізінде былай жазуға болады:
мұны ағынға арналған (1.16) өрнегіне қойып, мына формуланы аламыз: (1.18) мұндағы - -ші зарядтың жекеше туғызатын өріс кернеулігінің нормаль құраушысы. Жоғарыда айтылғандай, өрнегіміз мынаған тең болады:
Енді мұны (1.18) өрнегіндегі орнына қойып, былай жазуға болады: (1.19) Сонымен, біз Остроградский-Гаусс (Остроградский Михаил Васильевич 1801-1862жж., орыстың математигі және механигі; Гаусс Карл Фридрих, 1777-1855жж., неміс математигі, астроном және физик) теоремасына келдік. Бұл теорема былай тұжырымдалады: Тұйықталған бет арқылы электр өрісі кернеулігінің вектор ағыны осы беттің ішінде қоршалған зарядтың алгебралық қосындысын -ге бөлгенге тең. Егер заряд көлемдік тығыздығы болатын тұйықталған беттің ішінде үздіксіз таралса, Остроградский-Гаусс теоремасы мына түрде жазылады: (1.20) мұндағы оң жақтағы интеграл бетпен қоршалған көлем бойынша алынады. Енді Остроградский-Гаусс теоремасын электр өрістерін есептеуде қолданылуына мысалдар келірейік. жүктеу/скачать 1,99 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|