УРАВНЕНИЯ В ГИБРИДНЫХ КООРДИНАТНЫХ БАЗИСАХ

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

220

З. А. Жунусов., Ержан А.А. 

Алматинский институт энергетики исвязи 

 

Представлены  методы  формирования  уравнений,  основанных  на  общей 

адаптивной  модели  ветви,  обобщающей  модели  идеальных  ключей, 

нелинейных и реактивных элементов. 

Одним из основных критериев качества разрабатываемого программного 

обеспечения является его «срок жизни» [1]. В статье рассмотрена эффективные 

методы  формирования  уравнения,  основанная  на  эффективных  методах 

моделирования и моделях электронных схем. 

Остановимся  на  методах  формирования  уравнений,  описывающих 

электронные  схемы.  Очевидно,  методы,  основанные  на  однородных 

координатных  базисах,  следует  отнести  к  разряду  методов,  затрудняющих 

адаптацию  при  анализе,  поскольку  он  требуют  громоздких  и  неудобных  для 

реализации  на  ЭВМ  преобразований  схем  при  наличии  в  последних  особых 

ветвей  (с  нулевым  сопротивлением  для  метода  контурных  токов).  Иначе 

обстоит дело при использовании различных гибридных уравнений, с помощью 

которых  легко  описываются 

y

-  и 

z

-  ветви.  Гибридные  уравнения  более 

приспособлены  для  разработки  адаптивного  программного  обеспечения. 

Вследствие  простоты  формирования  на  ЭВМ  среди  гибридных  уравнений 

следует выделить расширенные узловые уравнения 

,

2

2

1

E

J

I

Z

A

A

Y

=

ϕ

   

 

 

 

 

(1) 

где 

Y

-матрица  узловых  проводимостей; 

1

A

-матрица,  обусловленная 

токами 

z

-ветвей, учитываемыми в уравнениях для узловых токов; 

2

A

-матрица, 

обусловленная  компонентными  уравнениями 

z

-ветвей  (в  общем  случае 

T

A

A

2

1

−

≠

 

и 

z

-недиагональная 

матрица); 

z

I

,

ϕ

-соответственно 

векторы 

потенциалов  узлов  и  токов 

z

-ветвей; 

E

J

,

-  векторы  токов  и  напряжений 

независимых  источников  либо  источников,  входящих  в  схемные  модели 

нелинейных, реактивных элементов или подсхем с изменяющейся топологией. 

Для  анализа  на  ЭВМ  нелинейных  электронных  цепей,  содержащих 

реактивные  элементы,  формируются  системы  нелинейных  интегро-

дифференциальных  или  дифференциальных  и  алгебраических  уравнений. 

Определенными  преимуществами  при  расчете  больших  схем  общего  вида  со 

значительным  разбросом  постоянных  времени  обладают  методы,  основанные 

на  формировании  уравнений,  не  разрешенных  в  явной  форме  относительно 

первых  производных  [1,2].  Такие  уравнения  алгебраизируются  с  помощью 

дискретных  схемных  моделей  элементов  и  решаются  итерационными 

методами; решение нелинейных алгебраических уравнений может быть сведено 

к  решению  множества  систем  линейных  уравнений.  Дискретные  схемные 

модели реактивных элементов получаются при замене интегральных уравнений 

конечноразностными 

на 

основании 

различных 

методов 

численного 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

221

интегрирования.  В  общем  случае  неявные  и  явные  методы  численного 

интегрирования 

n

-го  порядка  приводят  к  дискретным  схемным  моделям 

емкости  и  индуктивности,  приведенным  соответственно  на  рисунке  1  а,  б. 

заметим, что для явных методов сопротивление 

z

или проводимость 

y

-нулевые 

и  в  общем  случае  источники  являются  управляемыми.  Вследствие  простоты 

алгоритмизации, 

удовлетворительной 

для 

практики 

точности, 

характеризующих  состояние  схемы  в  моменты  времени,  предшествующие 

моменту,  для  которого  производится  расчет,  наибольшее  распространение  в 

машинных  программах  получили  методы    интегрирования  первого  и  второго 

прядка  (Эйлера,  трапеций,  Гира  второго  порядка  [3]).  Однако  предлагаемая 

методика анализа применима  для  метода интегрирования любого порядка, так 

как  базируется  на  наиболее  общих  моделях  элементов.  Она  основана  на 

решении  нелинейных  уравнений  методом  Ньютона,  для  улучшения, 

сходимости которого приняты специальные меры, описанные ниже. Алгоритм, 

реализованный  в  соответствующей  программе  [4],  построен  на  методе 

трапеций,  однако  его  легко  распространить  на  неявный  или  полуявный 

A

-

устойчивый [2] метод любого порядка. 

 

 

Рисунок 1 

Рисунок 2 

 

 

 

Рисунок 3 

 

При  формировании  системы  уравнений  (1)  с  помощью  классических 

дискретных схемных моделей реактивных элементов (рисунок 1 а, б) возникает 

необходимость  включать  одни  и  те  же  ветви  в  число 

y

-  или 

z

-ветвей  на 

различных  этапах  расчета.  В  качестве  примера  можно  привести  элемент, 

имеющий  нулевое  сопротивление  и  нулевую  проводимость  на  различных 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

222

участках  вольтамперной  характеристик.  Описанная  ситуация  возникает  и  в 

схемах,  содержащих  идеальные ключевые элементы, и  приводит к изменению 

порядка 

z

y

N

N

+

  (

y

N

  число  узлов  за  исключением  базисного; 

z

N

-число 

z

-

ветвей)  матрицы  системы  уравнений  (1),  что  усложняет  вычислительную 

процедуру.  Простейшей  адаптивной  моделью  нелинейных  или  реактивных 

элементов является модель (рисунок 2). В этой модели ветвь с проводимостью 

0

G

  относится  к 

y

-ветвям,  ветвь  с  источником 

0

E

  и  сопротивлением 

R

-  к 

z

-

ветвям;  соответственно 

0

G

  учитываются  при  формировании 

Y

-матрицы 

системы (1), 

R

-при формировании 

z

-матрицы, а 

0

E

 входит в правую часть (1). 

Если 

0

=

R

  и 

0

G

  конечна  (и  произвольна),  то  модель  (рисунок  2) 

относительно  внешних  зажимов  (напряжение  между  узлами 

j

i

,

  и  тока 

I

) 

эквивалента  источнику  ЭДС  с  напряжением 

0

E

,  в  частном  случае  при 

0

0

=

E

такая  ветвь  моделирует  замкнутый  идеальный  ключ.  При 

0

1

G

R

−

=

  модель 

(рисунок  2)  эквивалентна  источнику  тока 

0

0

E

G

I

Э

=

  и  в  частном  случае  при 

0

0

=

E

моделирует разомкнутый идеальный  ключ.  Параметры  модели  (рисунок 2) 

связаны с параметрами модели (рисунок 1а, б) элементарными соотношениями: 

;

)

1

(

0

RG

r

z

+

=

 

 

 

 

 

 (2) 

;

)

1

(

0

0

RG

E

E

Э

+

=

 

 

 

 

            (3) 

;

0

R

E

J

Э

=

 

 

 

 

 

      (4) 

Заметим, что при фиксированном 

G

G

−

=

0

 и 

G

R

1

0

≤

≤

 область определения 

сопротивления расположена от нуля до бесконечности (

∞

≤

≤ z

0

), как показано 

выше; 

Э

Э

I

E

,

 также могут принимать любые значения. Поэтому модель (рисунок 

2)  универсальна  и  позволяет  получать  любые  параметры  2-полюсников. 

Важной  особенностью  этой  модели  является  изменение  эквивалентного 

сопротивления, которое возможно только с помощью изменения сопротивления 

R

 

z

-ветви  модели.  Несложно  видеть,  что 

R

входит  в  один  виз  диагональных 

элементов матрицы 

Z

 системы (1). Таким образом, адаптивная модель (рисунок 

2) 

позволяет  фиксировать  структуру  матрицы  системы  уравнений, 

описывающей цепь, и вынести все изменяющиеся на каждой итерации или при 

изменении  временного  шага  интегрирования  элементы  на  диагональ  нижней 

правой подматрицы системы (1). 

Рассмотрим  подробнее  методику  формирования  и  решения  уравнений 

нелинейных  цепей  во  временной  области.  Все  нелинейные  элементы 

(резисторы,  конденсаторы,  катушки  индуктивности)  и  линейных  реактивные 

элементы  представим  моделями  (рисунок  2, 

y

G

−

0

-ветвь; 

z

R

E

−

,

0

ветвь).  Пусть 

цепь содержит 

1

+

y

N

  узел, 

z

N

-линейных 

z

-ветвей ( к которым будем относить 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

223

источники  напряжения  и  управляющие  ветви  управляемых  током  источников 

напряжения  и  тока), 

Г

A

  линейных  емкостей  и  индуктивностей, 

К

А

  идеальных 

ключей, 

Н

А

  нелинейных  элементов.  Для  линейных  резисторов,  линейных 

z

-

ветвей,  а  также  для  всех 

y

-ветвей,  входящих  в  модели  (рисунок  2), 

справедливы расширенные узловые уравнения. 

,

0

0

0

1

E

J

I

I

I

I

R

A

А

A

A

A

Y

Н

Г

R

z

z

z

Н

Г

K

=

ϕ

   

 

      

(5) 

где 

Y

-матрица  узловых  проводимостей,  включающая  и  проводимости 

моделей  (рисунок  2); 

z

R

  -матрица  сопротивлений  линейных 

z

-ветвей; 

−

1

A

матрица,  обусловленная  токами 

z

-ветвей  при  их  учете  в  уравнениях  для 

узлов; 

z

A

-матрица,  обусловленная  компонентными  уравнениями 

z

-ветвей; 

−

Н

Г

К

А

А

А

,

,

матрицы инциденций соответственно ключей, линейных реактивных 

элементов  и  нелинейных  элементов; 

ϕ

-вектор  потенциалов; 

Н

Г

К

Z

I

I

I

I

,

,

,

- 

векторы  токов 

z

-ветвей;  ключей,  линейных  индуктивностей  и  емкостей,  а 

также  нелинейных  элементов; 

E

J

,

-векторы  независимых  источников  тока  и 

напряжения.  Для  ключей,  линейных  реактивных  элементов  и  нелинейных 

элементов справедливы компонентные уравнения 

;

0

=

−

K

K

T

K

I

R

A

ϕ

 

   

 

 

(6) 

;

Г

Г

Г

Т

Г

E

I

R

A

=

−

ϕ

 

   

 

 

(7) 

;

H

H

H

T

H

E

I

R

A

=

−

ϕ

 

   

 

 

(8) 

где 

−

Н

Г

К

R

R

R

,

,

соответственно  диагональные  матрицы  сопротивлений 

ключей,  сопротивлений,  входящих  в  дискретные  схемные  модели  линейных 

реактивных  элементов  и  сопротивлений,  входящих  в  модели  нелинейных 

элементов. 

−

Н

Г

Е

Е

,

векторы  источников  ЭДС  моделей  линейных  реактивных 

элементов соответственно. Объединяя (5)…(8), получаем  

.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

1

Н

Г

Н

Г

K

z

Н

Т

Н

Г

Т

Г

K

T

R

z

Н

Г

K

Е

E

E

J

I

I

I

I

R

А

R

A

R

A

R

A

А

A

A

А

Y

=

−

−

−

ϕ

 

 

 

 

(9) 

Заметим,  что  адаптивная  модель  (рисунок  2)  привела  к  тому  что  все 

элементы  матрицы  системы  уравнений,  описывающей  электронную  цепь, 

которые  изменяются  в  результате  изменения  топологии  (

K

R

),  шага 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

224

интегрирования 

Г

R

 (или на каждой итерации для нелинейных элементов (

Н

R

) ), 

расположены  на диагонали  правой нижней  подматрицы матрицы  системы  (9). 

Такая  особенность  системы  (9)  позволяет  проводить  последовательное 

частичное 

LU

  -  разложение  [4].  Смысл  последнего  заключается  в 

формировании  и  разложении  и  разложении  сформированной  вначале  части 

матрицы  (9),  формировании  оставшихся  элементов  и  разложении  очередной 

части  матрицы.  Для  ускорения  вычислительной  процедуры 

LU

-разложение 

матрицы проводится в четыре этапа (рисунок 3). Для разложения используется 

алгоритм  Дулитла-Блэка  [5],  который  изменяет  только  элементы 

ij

a

матрицы 

при 

p

N

i

<

  или 

p

N

j

/

<

;  элементы 

se

a

  при 

p

N

s

>

  и 

p

N

l

>

остаются  неизменными 

(равными элементам исходной матрицы), где 

p

N

-число преобразованных строк 

и  столбцов  матрицы.  Метод  последовательного  частичного 

LU

-разложения 

позволяет существенно экономить время вычисления, поскольку, например, на 

каждой  итерации  необходимо  преобразовывать  только  элементы  подматрицы 

размером 

H

N

,  число  которых  существенно  меньше,  чем  элементов  полной 

матрицы  размера 

.

H

Г

K

z

y

N

N

N

N

N

+

+

+

+

  Метод  последовательного  частичного 

LU

-разложения  особенно  эффективен  при  использовании  разреженных 

методов хранения и обработки матриц. 

Обобщенный алгоритм формирования и  решения  уравнений для расчета 

временных характеристик нелинейных схем, основанный на изложенной выше 

методике, можно представить в следующем виде: 

1.

  формирование  неизменной  части  матрицы  системы  уравнений  (9),  в 

эту часть входят матрицы 

;

,

,

,

,

,

,

,

2

1

Т

Н

Н

Т

Г

Г

T

K

K

А

А

А

б

A

A

A

A

A

Y

−

−

−

−

 

2.

 

LU

-разложение сформированной части (

yz

LU

, рисунок 3);  

3.

  увеличение времени 

ш

t

t

t

+

=

(

−

ш

t

шаг интегрирования);  

4.

  проверка на изменение состояния ключей в промежутке (

t

t

t

ш

,

−

), если 

изменения нет и формирование проводится не в первый раз то, перейти к шагу 7; 

5.

  формирование  диагонали 

K

R

  (

0

=

Ki

R

-  замкнутое  состояние, 

0

1

G

R

Ki

−

=

  -

разомкнутое состояние);  

6.

 

LU

-разложение сформированной части (

K

LU

, рисунок 3); 

7.

  если шаг интегрирования не изменяется, перейти к шагу10; 

8.

  вычисление  параметров 

0

, E

R

  дискретных  схемных  моделей  (рисунок 

2) линейных реактивных элементов и формирование диагонали; 

9.

 

LU

-разложение сформированной части (

Г

LU

, рисунок 3); 

10.

 формирование составляющих вектора правой части 

;

,

,

Г

E

E

J

 

11.

 вычисление  параметров  моделей  нелинейных  элементов 

H

R

, 

формирование диагонали 

H

R

; 

12.

 

LU

-разложение сформированной части (

H

LU

, рисунок 3); 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

225

13.

 решение  системы,  матрица  которой  разложена  на  треугольные 

сомножители; 

14.

 анализ  сходимости  итерационного  процесса,  если  процесс  сходится, 

переход к шагу 16; 

15.

 если число итераций меньше допустимого – переход к шагу 11, иначе 

– изменение начальной точки, шага интегрирования 

ш

t

, возврат к предыдущему 

моменту 

ш

t

t

t

−

←

, переход к шагу 3; 

16.

 анализ 

необходимости  изменения  шага  интегрирования  при 

необходимости – изменения шага; 

17.

 если 

k

t

t

<

 (

k

t

 -конечной момент времени расчета), то переход к шагу 3, 

иначе расчет завершен – остановлен. 

В  описанном  алгоритме  используется  адаптивная  стратегия  выбора 

изменения  шага  интегрирования  одним  из  путей  повышения  точности  – 

интегрирование методами низких порядков несколько раз с различным шагом. 

Другой путь – применение методов высоких  порядков. В описанном алгоритме 

вычисление  локальной  ошибки  осуществляется  на  каждом  шаге  как  разность 

между  решением,  полученным  неявным  и  явным  методом  того  же  порядка. 

Такой подход в отличие от известных методов, основанных на дроблении шага 

интегрирования  и  сравнения  результатов,  полученных  с  большим  и  малым 

шагом, позволяет сократить число формирований уравнений и частичных 

LU

-

разложений  системы  уравнений.  При  выборе  очередного  шага  наряду  с 

ошибкой  интегрирования  учитываются  свойства  системы,  связанные  с 

количеством  итераций  по  методу  Ньютона.  Поскольку  изменение  шага 

интегрирования  ведет  к  необходимости  формирования  и 

LU

-разложения 

матрицы 

Г

R

шаг  не  изменяется,  если  число  итераций  больше  некоторого 

критического  число  итерации 

кр

N

;  причем  шаг  изменяется  только  в  случае, 

когда текущее число итераций 

i

N

 несколько раз превзошло критическое число. 

Аналогичная  стратегия  используется  для  уменьшения  шага.  Если  число 

итераций  лежит  в  некоторых  пределах 

max

min

N

N

N

i

<

<

,  то  шаг  интегрирования 

не  изменится.  Для  его  изменения  используется  функция,  вычисляемая  по 

эмпирическим формулам: 

 

max

1

N

N

f

f

i

i

i

+

=

−

 при 

;

max доп

N

N

>

     

 

 

 

(10) 

i

N

N

f

f

i

i

i

/

)

(

max

1

+

=

−

 при 

;

min доп

i

N

N

<

 

 

 

 

 (11) 

0

=

i

f

 при 

;

max

min

доп

i

доп

N

N

N

<

<

   

 

 

 

 (12) 

 

где 

−

i

N

число  итераций,  за  которое  проведен  расчет  в 

i

-й  момент 

времени; 

−

−

)

(

1

i

i

f

f

значение  функции  в 

i

-й  (

−

−1

i

й)  момент  (причем  при 

0

,

0

=

=

f

i

); 

−

max

N

максимально допустимое число итераций, после которого шаг 

Жоғары оқу орындарында ақпараттық технологияларды оқыту сапасын жақсарту: 

жолдары мен мүмкіндіктері 

 

226

интегрирования  изменяется  немедленно;  если  цепь  рассчитывается  по 

постоянному  току  или  непосредственно  после  или  до  коммутации,  то 

изменяется  начальная  точка  итерационного  процесса.  Если 

max

f

f

i

>

,  то  шаг 

интегрирования уменьшается на 

k

t

t

i

∆

=

∆

, если 

min

f

f

i

<

, то шаг  интегрирования 

увеличивается  на 

k

t

t

i

i

⋅

∆

=

∆

(

−

k

числовой  параметр);  при 

0

=

i

f

расчет 

проводится    постоянным  шагом.  Численные  эксперименты  показывают,  что 

хорошие  результаты  получаются,  если  выбрать  следующие  параметры: 

,

30

20

max

≤

< N

 

,

07

,

0

03

,

0

min

<

≤ f

 

,

2

1

max

≤

≤ f

 

.

5

2

<

< k

 

Описанные  модели,  методы  и  алгоритмы  положены  за  основу  анализа 

электронных  схем.  Которая  должна  имеет  оригинальную  архитектуру, 

развитыми  сервисными  средствами,  оперирует  с  библиотеками  моделей 

электронных элементов и узлов схем и отличается высокой эффективностью 

жүктеу/скачать 11,62 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: