І-тарау Математиканың негізгі ұғымдары Математикалық ұғымдар

Кіріспе

І-тарау Математиканың негізгі ұғымдары

1. 
   Математикалық ұғымдар
   
2. 
   Ұғымның мағынасы мен көлемі, ұғымның анықтамасы
   

П-тарау Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі
2.1 Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру
процесі, Анықталатын жэне анықталмайтын ұғымдар
2.2 Ұғымдардың анықталу тәсілдері
2.3 Натурал сан мен нөл ұғымдары

4. 
   Сан ұғымын кеңейту мәселесі
   
5. 
   Нақты дүние қасиеттерінің шама ұғымы арқылы иеленуі,
   шама және оны өлшеу ұғымдары
   

Қорытынды
Әдебиеттер тізімі
Кіріспе
Математика - қазіргі уақытта көптеген салаларына дендеп еніп, абстракциялык сипатқа ие болған, бір кездері адпмнын әр тұрлі қызмет саласындағы практикалык кажеггіліктерінен туындаған, көне ғылымдардың бірі.
Математика нені зерттейді және оның бізді қоршаған әлеммен қатынасы қандай? Математика, басқа ғылымдар сиякты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандык қатынастар және кеңістік формаларымсн анықталады.
Сондықтан математикалық объектілер заттар мен құбылыстардың сандық және кеңістік қасиеттері мен қатынастарын ерекшелендіре отырып, барлық басқа қасиеттерінен абстракциялаудың нәтижесі болып табылғанымен, шын мағынасында сол күйінде кездеспейтін бірақта нақты заттар мен құбылыстарды бейнелейтін идеал қабылданатын объектілер болып табылады. Шынында да , бізді қоршаған әлемде сан да, геометриялық фигура да жоқ. Оның бәрі тарихи даму процесінде адам ақылымен жасалған, бірақ олар бей берекет қалай болса солай емес, нақты әлемнен байланысты жасалған. Осылайша арифметика мен сандар теориясы алғашқы практикалық есеп заттарды санағаннан пайда болған, ал қарапайым геометрияның қайнар көзі ара қашықтықтарды салыстыруға, жазык фигуралардың ауданын немесе кеңістік денелерінің көлемін табуға байланысты мәселе Іюлып табылады.
Математикаға мыналар тән болып табылады:
егер оның алғашқы ұғымдарынан шындықтың бейнеленуін байқау өте оңай болса, ал алысырқау абстракцияланған жағдайларда мүны байкау мүлдем мүмкін бола бермейді;
ұғымдардың логикалық дамуы жүріп жатқанымен де, абстракцияның өзін абстракциялауға болады, бірақ олар шындықтан қаншалықты алыс болып көрінгенімен, ақырында нақты әлемді өте жанама тұрде болсын бейнелейді;
онда практикалық жағдайлардан туындайтын және одан кейін абстракцияланатын ұғымдар құрылады және ол шындықты жуыктап зерттеуге мүмкіндік береді;
ол нақты әлемнің заттарын емес, абстракциялық ұғымдарды және олардың корытындыларының мүлде катаң және дәлме - дәл екендігін зеттейді, сондықтан оның жуықтығын ішкі сипатта емес, құбылыстың математикалық моделін құрастырумен байланысты болады;
оның материалдық зеттеу пәні шешуші мәнге ие емес те, мұнда қолданылатын әдіс маңызды болып табылады және де: математиканың тек қана зерттеу пәні ғана ерекшс смсс, таным әдісі де ерекше, яғни жаңа білім алу үшін мұнда эксперименттік тексеруге, көрнекілікке сүйенбей қатаң логикалық талқылау / дедуктивтік логикалық қорытынды / жүргізіледі;
ондағы ұғымды таза ақылдың жемісі ретінде емес нақты өмір сүретін заттардың, құбылыстардың, процестердің абстракциясы немесе бұған дейін қальштасқан абстракцияның абстракциясы /жоғары ретті абстракция/ ретінде карастырылады;
онда пайда болған абстракциялар нақты заттардың қасиеттерін тікелей жалпылайтын абстракциялардан, сонша жоғары деңгейдегі абстракцияларға көтеріліп сатылы даму сипатында болады;
оның нәтижесі колдану тұрғысынан алғанда әмбебап сипатқа ие, яғни оны қандай да бір нақты құбылысты немесе процесті зеттеу кезінде ғана қолданумен шектелмей, физикалық табиғаты бұрын қарастырылғандардан түбегейлі өзгеше болатын басқа құбылыстарды да зеттеу үшін де қолданылуы мүмкін;
ол, шығармашылық күш ретінде көптеген дербес жағдайларда қолдануға болатын жалпы ережелер карастыру мақсатын көздейді, әрі сол ережелерді құрастырғандар жаңаны құрастырады, ойлап табады, ал дайын ережелерді колданатындар, математиканың өзінде жаңалық ашпайды, яғни ештеңе ойлап таппайды, бірақта математикалық ережелердің көмегімен баска білім салаларында жаңа құндылықтар жасауы мүмкін;
ол материалдық заттарды емес, кейбір операцияларды оған қолдануға мүмкіндік беретін зертеу объектісінің құрылымдық қасиеттерін зерттейді;
оның ережелері барлық кезде колданыс таба бермейді, дегенмен олардың шексіз үстемдік ететін, шектелген колданыс аймағы бар;
өзі пайда болғаннан бері мыңдаған жылдар ішінде математика сан және фигура жайлы қарапайьм үрдістерден көптеген жаңа түсініктер мен әдістердің құрылуына алып келді, әрі ол табиғатты зеттеудің әулетті де, практикалык икемді де құралына айналады, сонымен бірге XX ғасыр математикада жаңа идеялар мен теориялар туғызды, оның қолдану аясын кеңейтті.
Жоғарыда айтылғандардан математика пәніне, мазмұнына, тәуелсіздік деңгейі, одан толығымен дерексіздендірілетін және I жоғары деңгейде түсініктілігі, дәлдігі, байланыстар байлығы сақталатын ұғымдар арқылы бейнелетін шынайы әлемнің кез-келген формасы /пішіні және түрі/ мен қатынастары енеді, - деген қорытынды жасауға болады. Мұның бәрі теорияның таза логикалық дамуының негізін қалап береді.
Сонымен математика мазмұнынан дерексіздендірілген кез-келген форма мен қатынасты зерттейді. Бірақ та бұл абстракты формалар мен қатынастар шындап келгенде шынайы әлемнің алғашқы бейнесі болып табылады. Сондықтан ғылым ретінде математиканың зеттеу объектісін - кеңістік форма, сандық катынас және логикалық конструкция ретінде анықтаған орында, - деп есептейміз.
Математиканың дамуы және оның қолданылу аясының кеңеюі бұрын қандай-да практикадан алыс болып көрінген математиканың кейбір аймағының "қолданбалы" болғандығын және сол арқылы таза математикадан тысқарырақ сияқты болып сезілетін математикалық логика, әр түрлі теориялар /кодтау, информация, алгоритмдер, автоматтар/, есептеу математикасы және т.б. пәндер жиынтығы ролінің күшейе түскендігін көрсетіп отыр.
Қазіргі математика таза теориясымен, сондай-ақ оның қолданбалы салаларымен айналысатын ғалым-математиктердің күш-жігері арқасында қарқынды даму кезеңін бастан кешіруде. Олардың кейбіреулері үшш математика - қоршаған ортаны және онда болып жаткан құбылыстарды тану әдісі болса, басқалар үшін математиканың өзі зерттеуге және дамытуға лайықты біртүтас әлем болып табылады. Сонымен бірге математиканың дамуы көптеген шиеленіскен қарама-қайшылықтардың: нақты мен абстрактының, дара мен жалпының, форма мен мазмұннын. аксиоматика мен конструктивтіктің, шекті мен шексіздің, формальдық пен мазмұндылықтың, дискреттілік пен үздіксіздіктің күрес проиесінде жүзеге асуда.
Мысалы, соңғы он жылдықтарға тән болып отырған дәл ғылым салаларының қарқынды дамуы математиканың одан әрі кеңейе түсіне және мамандыққа бейімделуіне кең жол ашты, тіпті тұтас ғылым математиканың ішінде әр тұрлі зеттеу пәні мен әдістері, ерекше белгілеуі /символикасы/ бар дербес дамитын бөлімдер пайда бола бастады. Бұл жағдай бір ғана математика ғылымы бар ма немесе бірнеше математикалык туыстас болғанымен/ ғылымдар бар ма деген проблеманың туындауына себеп болып отыр.
Бұл сұраққа жауабы "математика" ұғымын жоғарыда біздің қарастырғанымыздан өзгеше анықтауға мүмкіндік береді. Ал осындай жаңа, яғни "қазіргі математиканы құрылымдар жайлы ғылым ретінде қарастыратын" анықтаманы Никола Бурбаки деген бұркеншек атпен белгілі француз математиктерінің тобы "Математиканың архитектурасы" атты мақалада ұсынған.
Олар "математиканың бірден-бір объектісі, дүрысын айтканда, математикалық күрылымдар болып табылады", - деп пайымдайды. Бұл анықтамада, математика өзі зерттейтін объектілермен ғана айналысатын ғылым, - дсп түжырымдалғандықтан, шын мәнінде "тавтология" /орынсыз/ болып табылады. Осы аньтқтаманың тағы бір кемшілігі математиканың бізді қоршаған әлемнен қатынасын айқындамағандығында. Дегенмен, өздерінің еңбектерін ортак "Николя Бурбаки" деген бұркеніш атпен жариялайтын қазіргі француз математиктері тобының /А. Вейль, Ж. Дьедонне және т.б./ еңбектерінде көрініс тапкан математикаға деген осы көзқарасы: Барлык математиканың негізгі таза сандап теориясы болып табылады;
Математиканың арнаулы бөлімдері қандай-да арнаулы құрылымдар тегіне тиісті құрылымдармен айналысады сияқты тезистермен /А.Н. Колмогоровтың айтуынша/ сипаттауға болатын соңғы уақытты қалыптасқан математиканың қазіргі